5. Цепи с периодическими
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ
5.1. Общие сведения
Несинусоидальные или негармонические периодические сигналы - это токи, напряжения или ЭДС, повторяющиеся через равные промежутки времени (период Т) и отличающиеся по форме от постоянных и синусоидальных.
В электроэнергетике несинусоидальность токов и напряжений, как правило, является следствием аварийных режимов или обусловлена влиянием нелинейных устройств. В вычислительной технике, радиотехнике, автоматике и телемеханике специально генерируются несинусоидальные сигналы.
Все физически реализуемые периодические несинусоидальные сигналы удовлетворяют требованиям Дирихле и могут быть представлены тригонометрическим рядом Фурье:
,
(5.1)
где А0 - гармоника нулевого порядка или постоянная составляющая, равная
,
(5.2)
, А1m, 1 - основная частота, амплитуда основной (или первой)
гармоники и ее начальная фаза соответственно;
А2m , A3m , ... , Аkm, 2 , 3 , ... , k - амплитуды 2, 3, ... , k гармоник,
названных высшими, и их начальные фазы.
Иногда тригонометрический ряд записывают в форме:
,
(5.3)
и
.
(5.4)
Существующее программное обеспечение ЭВМ позволяет быстро произвести гармонический анализ любого периодического сигнала на основе уравнений (5.1) (5.4).
Ряд Фурье может быть представлен графически в виде дискретных спектров амплитуд и начальных фаз, как показано на рис. 5.1, а и б, соответственно.
а б
Рис. 5.1
Действующим или средним квадратичным значением функции называют величину
.
(5.5)
Для
синусоиды
.
Среднее значение за период или постоянную составляющую определяют:
.
(5.6)
Для синусоиды и всех симметричных относительно оси абсцисс сигналов эта величина равна нулю. Поэтому для кривых, симметричных относительно оси абсцисс, определяют среднее по модулю:
.
(5.7)
Для
синусоидальных величин
.
Для оценки несинусоидальности используют коэффициенты:
а)
формы кривой
(для синусоиды КФ
= 1.11);
(5.8)
б)
амплитуды
(для синусоиды
=
);
(5.9)
в) искажения КИ = F1 / F (для синусоиды КИ = 1, F1 - действующее значение первой гармоники); (5.10)
г)
гармоник КГ
=
(для синусоиды КГ
= 0).
(5.11)
ПРИМЕР
5.1. Напряжение строчной развертки
монитора с амплитудой 48 В, показанное
на рис. 5.2, а, аппроксимировано гармоническим
рядом:
.
Требуется
построить дискретный спектр амплитуд,
определить действующее U
и среднее
значения,
а также коэффициенты формы
,
искажения
и гармоник
.
РЕШЕНИЕ. 1. Дискретный спектр амплитуд представляет собой совокупность зависимостей амплитуд гармонических составляющих от частоты, изображенных на плоскости.
а б
Рис. 5.2
Для заданной функции имеем четыре линии, изображающие в масштабе постоянную составляющую и амплитуды трех гармоник, расположенные в точках оси абсцисс, кратных частотам этих гармоник, как показано на рис. 5.2, б.
2. На основании (5.5), действующее значение напряжения:
В.
Среднее
значение напряжения за период:
В.
3. По формулам (5.8), (5.10), (5.11) находим:
;
;
.