35.Рассказать о вычислении двойного интеграла в декартовых, полярных координатах и о перемене порядка интегрирования. Примеры.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению 2-х определенных интегралов. Рассмотрим как это делается. Требуется вычислить

Область D называется правильной относительно оси OX, если всякая вертикальная прямая пересекает ее не более, чем в 2-х точках, называемых точками входа и выхода.

Аналогично, область называется правильной относительно оси OY, если всякая горизонтальная прямая пересекает эту область в 2-х точках.

Всякая неправильная область может быть разбита на конечное число правильных областей, поэтому будем считать, что область D – правильная.

Пусть сначала подынтегральная функция f(x,y) неотрицательна, тогда ее можно трактовать, как плотность функции и двойной интеграл представляет собой массу пластины.

Найдем сейчас эту массу другим способом: разобьем область D на вертикальные стержни, а затем каждый стержень на кусочки.

Элемент площади

Масса стержня

Итак, мы получили, что

Эта формула справедлива и в тех случаях, когда функция f(x,y) имеет произвольный знак.

Правило сведения двойного интеграла к повторному.

Для вычисления двойного интеграла по области, правильной относительно оси OX, нужно сначала проинтегрировать по y при произвольном, но фиксированном x от точки входа до точки выхода, а затем полученный интеграл проинтегрировать по x в пределах наибольшего его изменения.

Замечание. Если область, правильная относительно оси OY, то наружный интеграл берется по y. Часто бывает, что удобный выбор порядка интегрирования облегчает вычисление интегралов.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Если подынтегральная функция зависит от суммы квадратов или область интегрирования представляет собой часть круга, то двойной интеграл удобно вычислять, переходя к полярным координатам.

Область интегрирования в этом случае имеет вид

Найдем элемент площади поверхности в полярных координатах.

Будем приближенно считать заштрихованную область прямоугольником, тогда длина дуги AB

Поэтому справедлива формула (2)

Правило вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах нужно сначала проинтегрировать по ρ при произвольном, но фиксированном φ, а затем полученный интеграл проинтегрировать по φ в пределах наибольшего изменения.

Замечание 1. Наружный интеграл всегда берется по φ.

Замечание 2. Если область D имеет вид, т.е. полюс расположен внутри области, то