23. Дать определения интегральной суммы интеграла по фигуре для 5 типов фигур.

Интегральных сумм S_n бесконечно много. Здесь имеется 2 степени произвола: 1можно по разному разбивать фигуру на n-частей; 2можно по разному выбирать точку P_k каждой части.

24. Сформулировать условие существования интеграла по фигуре. Рассказать о механической интерпретации интеграла по фигуре и геометрической интерпретации опред. Двой. Кривол.

Теорема. Если фигура ограничена, а подынтегральная функция непрерывна, то интеграл по фигуре существует.

На самом деле интеграл по фигуре существует и при гораздо меньших ограничениях, но нас вполне устраивают и эти.

Физически, если подынтегральная функция не отрицательна, то интеграл по фигуре можно трактовать, как массу этой фигуры, а подынтегральную функцию – как плотность этой фигуры.

1) Определенный интеграл.

Пусть

Полученная фигура называется криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.

Разбиваем на n частей, не обязательно равных.

- это и будет интегральная сумма.

Итак, геометрически определенный интеграл – это площадь криволинейной трапеции.

Если у нас подынтегральная функция переменного знака, то берется алгебраическая сумма площадей.

Геометрический смысл двойного интеграла определяется совершенно аналогично, а именно

Геометрически двойной интеграл по области D от функции f(x,y) – это объем цилиндроида, основанием которого является область D, а верхней крышкой – подынтегральная функция f(x,y).

Геометрический смысл криволинейного интеграла по плоской кривой Г определяется аналогично..

Геометрический смысл криволинейного интеграла по плоской кривой - это площадь цилиндрической поверхности, направляющей которой является кривая , образующая параллельно оси OZ, а верхней крышкой является сечением подынтегральной функции.

Остальные типы интеграла по фигуре явного геометрического смысла не имеют.

25. Сформулировать и доказать основные свойства интеграла по фигуре (о немой переменной, линейность, аддитивность, значение интеграла при ).

Основные свойства определенного интеграла по фигуре.

В своем большинстве они одинаковы для всех 5 типов интегралов, следует однако отметить особую роль определенного интеграла, ибо к нему сводятся при вычислении все остальные типы интегралов, поэтому последние свойства будут сформулированы специально для определенного интеграла.

1) для определенного интеграла

В определенном интеграле переменная интегрирования немая.

2)Аддитивность

относительно подынтегральной функции.

1. Однородность

2. Аддитивность относительно области интегрирования.

Физически это означает, что если пластинку разрезать на части, то ее масса равна сумме масс частей.

5)

В определенном интеграле при перемене порядка интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

6. Это свойство лежит в основе геометрических и механических приложений интегралов по фигуре.

Ввиду важности этого свойства запишем его подробно для всех пяти типов фигур:

1.

2.

3.

4.

5.