14. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Доказать лемму о первообразных. Примеры.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Пример.

Неопределенное интегрирование – это операция, обратная дифференцированию и как всякая обратная операция она и сложнее и не всегда исполнима.

Лемма о первообразной.

Пусть и первообразные функции f(x), т.е. и тогда

Тогда они отличаются между собой не более чем на постоянную.

Доказательство:

Рассмотрим функцию и применим к этой функции теорему Лагранжа на

Найдем чему равняется

Эта лемма позволяет сделать корректным следующее определение:

Опр. 2. Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных, т.е. справедлива формула (2)

15. Доказать основные свойства неопределенного интеграла и вывести правила интегрирования. Примеры.

Свойства неопределенных интегралов.

1)

Доказательство:

Продифференцируем формулу (2)

что и требовалось доказать.

2)

Доказательство:

3)

1 и 2 свойства выражают взаимную обратимость операции дифференцирования и интегрирования, 3 свойство выражает линейность операции интегрирования.

На практике для вычисления интегралов их сводят к одному или нескольким табличным, используя правила интегрирования.

Пример.

Произвольная постоянная «спрятана» в последнем не взятом интеграле.

Для проверки правильности интегрирования нужно продифференцировать ответ, должна получиться подынтегральная функция.

16. Инвариантность формул интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.

Свойство инвариантности формул интегрирования заключается в следующем: в качестве и в формулах интегрирования может стоять как независимая переменная, так и произвольная дифференцируемая функция u=u(x).

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Опр.

В качестве u может выступать дифференцируемая функция тогда эта формула примет вид (4)

Справедлива теорема:

Если функция дифференцируема и область ее значений попадает внутрь области определения функции f, а также во всей области сохраняет один и тот же знак, то справедлива формула (4).

Интегрирование по частям.

Эта формула применяется, когда функция u упрощается при дифференцировании, а именно

и в некоторых других случаях.

17. Интегрирование и сопутствующих интегралов.

Интегрирование квадратного трехчлена.

Он вычисляется выделением в знаменателе полного квадрата и сводится таким образом к arctg или к высокому логарифму.

Похожими на эти интегралы являются следующие:

Они сводятся к arcsin или к длинному логарифму.

18. Вывести формулу разложения многочлена на множители, используя основную теорему Безу. Интегрирование простейших рациональных дробей 4-х типов. Примеры.

Теорема Безу.

Доказательство.

Каждое слагаемое полученного выражения делится на , следовательно и все выражение делится на .Теорема доказана.

Согласно основной теореме алгебры у нас имеется , по теореме Безу:

Мы получили первичное разложение многочлена на простые множители. В этом разложении некоторые множители совпадают, а некоторые множители являются комплексными. Но так как коэффициенты уравнения вещественны, то комплексные множители всегда входят комплексно-сопряженными парами.

Интегрирование рациональных дробей.

Опр. Простейшими правильными дробями называются дроби 4-х типов: