9. Дать определение градиента скалярного поля и доказать теорему о связи производной по направлению и градиента. Дать инвариантное определение градиента. Примеры.

Градиентом скалярного поля называется вектор

Пусть имеется плоское поле u=f(x,y). Выберем на поверхности некоторую точку M и некоторый вектор . Рассечем поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через точку M и вектор .

Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле:

(12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор

ортвектор вектора

10. Дать определение касательной плоскости и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Примеры.

Пусть поверхность задана уравнениям f(x,y,z)=0. Выберем на этой поверхности некоторую точку M и проведем через эту точку различные вертикальные плоскости, в сечении получатся некоторые плоские кривые. Оказывается, что если градиент , то касательные к этим кривым расположены в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности F(x,y,z)=0 в точке M.

Выведем уравнение касательной к плоскости в точке

Нормаль к касательной плоскости совпадает с направлением градиента в этой плоскостит.

F(x,y,z)=C

Пусть поверхность задана явно z=z(x,y).

F(x,y,z)=z(x,y)-z

11. Дать определение локального экстремума функции двух переменных. Доказать теорему о необходимом условии экстремума.

Экстремум функции 2-х переменных.

z=z(x,y) в точке M₀ локальный max

1) z(M) определена в окрестности ; 2)

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Если M₀ является точкой экстремума функции т. extremum z=z(x,y), то частные производные в этой точке равны нулю.

Пусть точка M₀ – точка максимума. Проведя сечения координатными плоскостями, мы получим плоские кривые.

А для плоских линий, т.е. графика функции одной переменной необходимым условием экстремума является равенство нулю производной.

Эти производные будут частными производными для функции 2-х переменных, т.е. теорема доказана.

Опр. Точка M₀ называется стационарной точкой, если частные производные в этой точке равны нулю

Замечание.

Теорема 1 дает лишь необходимое условие экстремума, т.е. если функция дифференцируема и у нее есть экстремум, то частные производные равны нулю. Обратное вообще говоря не верно.

Замечания:

1) Функция z=z(x,y) может быть не дифференцируемой в точке M₀, тем не менее экстремум там может быть.

2) Рассмотрим примеры 2-х функций:

Точка O не является точкой экстремума, O – точка минимакса.

Этот пример подчеркивает, что теорема (1) дает лишь необходимое условие экстремума.

Тем не менее в большинстве случаев определив с помощью теоремы 1 стационарные точки, догадаться о том будут ли они точками

экстремума можно исходя из геометрических или физических соображений.