19. Сформулировать теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие. Рассказать о методах удобных значений и неопределенных коэффициентов. Примеры.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей 4-х типов. При этом если в знаменателе имеются

если

Если имеется:

.

Если имеется многочлен:

Коэффициенты находятся методом удобных значений или методом неопределенных коэффициентов.

20. Рассказать об интегрировании выражений, содержащих тригонометрические функции. Примеры.

В этом разделе мы будем рассматривать интегралы вида Эти интегралы всегда можно свести к интегралам от рациональных дробей, т.е. рационализировать с помощью универсальной тригонометрической подстановки

тогда

Однако, универсальная подстановка может привести к неоправданно сложным вычислениям, поэтому имеется несколько частных случаев, в которых используются другие подстановки.

1. В подынтегральную функцию sinx или cosx входят в нечетной степени.

Например, если sinx входит в нечетной степени, то мы отщепляем sinx и выносим его под знак дифференциала, получаем .

2. И sinx и cosx входят в четных степенях в виде произведения. В этом случае удобно использовать формулу понижения степени.

3. Если у нас подынтегральная функция представляет собой дробь, в знаменателе которой стоят синусы и косинусы в четных степенях, то удобно использовать подстановку

4. Если подынтегральная функция представляет собой или или в знаменателе стоит sin или cos в четных степенях, то можно или применять подстановку tgx=t или же отщеплять tgx используя формулы:

21. Рассказать об интегрировании дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Примеры.

Дробно-линейная иррациональность вида рационализируется с помощью замены

Если у нас имеются различные радикалы от одного и того же выражения, то нужно делать такую замену, при которой все иррациональности исчезнут.

Имеется 3 типа квадратичных иррациональностей, которые сводятся к интегралам от тригонометрических функций с помощью тригонометрических подстановок

22. Дать определение фигуры, ее диаметра, плотности и сформулировать задачу о массе фигуры. Примеры.

Будем называть фигурой одно из пяти множеств точек: 1) отрезок, 2) плоская или пространственная кривая, 3) плоская область, 4) изогнутая пластина, 5) объемное тело R.

Мерой фигуры тел мы будем называть некоторое неотрицательное число, которое можно поставить в соответствие любой фигуре.

Диаметром фигуры называется максимальное расстояние между точками фигуры (diam).

Будем представлять себе фигуры физически спаенной из маленьких шариков различных материалов. Тогда каждый маленький кусочек фигуры имеет свою плотность.

Задача о массе фигуры.

Пусть известна плотность фигуры в каждой точке Нам нужно найти массу фигуры. Задача решается для всех фигур одинаково.

1. Разобьем фигуру на n-частей, не обязательно равных.

2. В каждой из произвольной частей выберем

3. Будем считать плотность в этой точке, равной плотности всего кусочка.

Тогда масса кусочка (произведению плотности в этой точке на меру кусочка).

4. Складываем

Полученное выражение называется n-ой интегральной суммой.

5. Перейдем к пределу

Полученный предел называется интегралом по фигуре и равен массе фигуры