6. Рассказать об инвариантности формы 1-го дифференциала функции двух переменных. Высшие производные и дифференциалы. Примеры. Инвариантность 1-ой формы дифференциала.

Пусть задана сложная функция

Предполагается, что все три функции дифференцируемы, тогда

Т.к. функции x и y дифференцируемы, то

Аналогично

Подставим теперь (9) и (10) в (8) и получим:

Перегруппируем

По формулам (4)

Свойство инвариантности формы 1-ого дифференциала заключается в следующем: вид дифференциала не изменяется в зависимости от того являются переменные промежуточными (x и y) или независимыми (u и v).

Высшие производные и дифференциалы.

Пусть задана дифференцируемая функция 2-х переменных z=z(x,y). Дифференцируемость означает существование у нее частных производных. Эти производные в свою очередь являются функциями x, y; если они дифференцируемы, то у них тоже есть частные производные, это будут производные 2-ого порядка, т.е.

В свою очередь эти производные снова можно дифференцировать, получим производные 3-ого порядка и т.д.

Справедлива теорема Шварца:

Смешанные производные не зависят от порядка их дифференцирования, т.е.

Пример. Рассмотрим функцию И найдем обе смешанные производные.

Дифференциал 2-ого порядка определяется, как дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Символически формула для определения дифференциалов высших порядков можно записать так

7. Дать определение скалярного поля, поверхностей уровня и производной по направлению. Примеры.

Опр. Если каждой точке поставлено в соответствие единственное число u=u(M), то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Пример поле температур.

Если в область D поместить систему координат, то скалярное поле будет задаваться функцией 3-х переменных.

Поле называется плоским, если область D занимает часть плоскости.

Поверхностью уровня скалярного поля называется поверхность, на которой скалярное поле принимает одно и то же значение: F(x,y,z)=C.

Для плоского поля линия уровня F(x,y)=C.

Градиентом скалярного поля называется вектор

Пусть скалярное поле задано двумя точками M и N, . Производная скалярного поля по направлению в точке M называется

Геометрический смысл производной по направлению и частных производных.

Пусть имеется плоское поле u=f(x,y). Выберем на поверхности некоторую точку M и некоторый вектор . Рассечем поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через точку M и вектор .

Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле: (12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор ортвектор вектора

8. Доказать теорему о вычислении производной по направлению.

Если секущая плоскость параллельна оси OX, то совпадает с частной производной по x. Можно показать, что производная по направлению вычисляется по следующей формуле:

(12) , где это углы, которые составляет вектор с осями координат или иначе вектор

ортвектор вектора

Пример.

Найти производную функции и в точке M по направлению вектора .

Если поле плоское, то вектор

(13)

Используя формулу для градиентов формулу (12) можно записать:

или иначе

Максимальное значение производной по направлению достигается, когда это направление совпадает с направлением градиента, т.е.