12. Доказать теорему о достаточном условии экстремума функции двух переменных. Примеры.

Теорема 2. Достаточное условие экстремума функции 2-х переменных.

Пусть функция z=z(x,y) дважды непрерывно дифференцируема и P₀ – стационарная точка, т.е.

Рассмотрим число

(1)

Если точка экстремума.

При этом если , то точка максимума.

Если точка минимакса.

Если , то неизвестно что это за точка.

Для доказательства воспользуемся формулой Тейлора:

Этот же вид формула Тейлора сохраняет для функции любого числа переменных, т.е. , но здесь ,

Если функция z(x,y) имеет в точке P₀ экстремум, то приращение функции в окрестности этой точки сохраняет знак.

Пусть для удобства , но в точке P₀ dz=0 знак определяется вторым дифференциалом, т.е.

Дальнейшие слагаемые имеют более высокий порядок малости по сравнению со вторым дифференциалом и потому знак влияния не оказывает.

Получим

В квадратных скобках стоит квадратный трехчлен по t, т.е. выражение вида

чтобы этот трехчлен держал знак нужно, чтобы его дискриминант был отрицательным, т.е

А это и есть условие (1) теоремы.

Если , то P₀ –точка минимума.

Если , то P₀ – точка максимума

13. Дать определение условного экстремума и рассказать о методе множителей Лагранжа. Рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области. Примеры.

Условный экстремум.

Рассмотрим следующую задачу:

Дано А квадратных сантиметров жести. Требуется сделать коробку в виде прямоугольного параллелепипеда, имеющего максимальный объем.

Н айти экстремум функции

при выполнении условия F(x,y)=0 (2).

Задачу (1)-(2) можно попытаться решить формально, выразив из (2) уравнения y=y(x) и подставив его в (1):

.

Задача нахождения условного экстремума функции (1) при условии (2) свелась к задаче нахождения безусловного экстремума функции , однако этот путь далеко не всегда возможен, т.к. не всегда можно выразить y явно из соотношения (2), поэтому применяется другой общий прием, носящий название метод множителей Лагранжа

Ее безусловный экстремум и будет условным экстремумом функции (1) при условии (2).

Необходимым условием экстремума функции 3-х переменных является равенство нулю всех ее частных производных.

Докажем, что система (3) определяет стационарные точки для условного экстремума, для этого найдем полную производную функции и приравняем ее к нулю

Отсюда,

С другой стороны из соотношения (2) мы можем найти значение производной неявной функции Эти соотношения равны, отсюда получим

а это и есть соотношение (3).

Этот метод применим для функций любого числа переменных, разница лишь в том, что там возникает несколько множителей Лагранжа. Число множителей Лагранжа равно числу условий, налагаемых на функцию.

Пример.

Вставляем полученное значение вставляем в первое уравнение:

В силу симметричности системы числа a,b и c равны между собой.

этот параллелепипед является кубом.

Наименьшее и наибольшее значение функции в области (глобальный экстремум).

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции 2-х переменных:

Z=f(x,y) в D 1) Ищем стационарные точки функции:

Пусть это будут точки

2) Выделяем те из них, которые находятся внутри области D и на ее границах.

Пусть это будут точки

3) Находим значение функции в этих точках

4) Находим условный экстремум функции z при условии, что точка лежит на одной из линий, составляющих границу области D.

5) Находим значения функции в угловых точках

z(A), z(B), z(C).

Наименьшее из этих значений и будет наименьшим значением функции в области, наибольшее – наибольшим.

Пример. Найти экстремум функции в области D, ограниченной линией

На линии OA: y=0,z=0.

На линии OB: x=0,z=0.

На линии AB:

т.е.