26. Сформулировать и доказать основные свойства интеграла по фигуре (интегрирование неравенств, теорема о среднем, теорема об оценке интеграла).

Теорема об оценке интеграла.

Если подынтегральная функция непрерывна на фигуре, то справедлива следующая оценка.

где

Для доказательства нужно проинтегрировать последнее равенство по области D. Физически это означает, что если заданы границы для плотности фигуры, то можно оценить ее массу.

Замечание. Чем уже зазор между m и M, тем точнее будет оценка интеграла.

Интегрирование неравенств.

Если то

Замечание. Дифференцировать неравенство нельзя.

Теорема о среднем значении ( о среднем).

Если подынтегральная функция непрерывна на заданной фигуре, то существует P₀, что

Введем сначала понятие среднего значения функции в области.

Пусть задана область D и известны значения функции в некоторых точках,

Разобьем на n частей, в каждой части будет по одной точке. Назовем каждую часть . т.е. мы получили частный случай интегральных сумм. Если теперь перейти к пределу, когда , то справа получится

но если функция непрерывна на замкнутом множестве, то каково ни было число из области значений функции, всегда найдется точка, в которой значение функции равно этому числу.

27. Доказать теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и вывести формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема Барроу или теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.

При фиксированном числе а и заданной подынтегральной функции f(t)

является функцией верхнего предела.

Теорема.

Производная о интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Доказательство.

По определению

По теореме о среднем

Теорема доказана.

Замечание. Иначе говоря мы показали, что таким образом построенная функция является первообразной для подынтегральной функции f(x).

Основная теорема интегрального исчисления или формула Ньютона – Лейбница.

Интеграл от а до б равняется разности значений первообразной в точках верхнего и нижнего предела

Доказательство.

По определению

Итак, для одной специальной первообразной формула доказана.

Но согласно лемме о первообразных все они отличаются между собой не более, чем на произвольную постоянную, т.е.

Отсюда.

Итак, мы получили

Т.к. переменная t немая, то ее можно заменить на x и мы получим формулу, где F(x) – любая первообразная.

Эта формула устанавливает связ между неопределенным и определенным интегралами и носит название основной теоремы интегрального исчисления.

28. Вывести формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Примеры.

Замена переменной в определенном интеграле.

Если функции f(x) и непрерывны, то

Здесь

Точнее теорема о замене переменной формулируется так:

1. Если функция f(x) непрерывна на

2. переходит в , т.е. интервал является множеством значений функции

3. Функция непрерывно дифференцируема на и

Иными словами, чтобы функция g(x) или монотонно возрастала или монотонно убывала на

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Формула интегрирования по частям имеет вид