21. Разложение разностей широт, долгот и азимутов в ряды со средними аргументами
Как отмечено, ф-лы для решения главной геод. задачи, основанные на рядах с начальными аргументами, имеют ограниченные возможности. Рассмотрим один из возможных путей их усовершенствования, основанный на применении рядов со средними аргументами. При этом мы также будем удерживать в ф-лах для вычислений малые величины третьего порядка.
средние коорд. отличаются от коор-т середины геод. линии на малые величины второго порядка. При этом на данной геод. линии существуют четыре различные т. со средними коор-тами. Это обстоятельство следует учитывать при дальнейшем выводе рабочих ф-л.
В ф-лах Разложение разностей широт, долгот и азимутов коэф-ты разложений представлены производными, являющимися функциями широты и азимута середины геод. линии, значения к-рых неизвестны. Мы можем вычислить средние широту и азимут, если известны их значения в двух т.х. Поэтому перейдем в коэф-тах указанных ф-л к средним широтам и азимутам ( средним аргументам ).
Учитывая
значения разностей из ( 6. 12 ), выражения
для производных, полученные ранее ( 6. 5
) – ( 6. 8 ), а также вычисляя частные
производные получаем выражение в виде
Действуя аналогично, получаем для разностей долгот и азимутов
(
6. 17 )
22. Порядок решения прямой геод. Задачи по ф-лам со средними аргументами
При решении прямой геод. задачи известны следующие величины: B1, L1, S12 , A12 , требуется найти: B2, L2, A21. При этом очевидны ур-ния:
B2 = B1 + b; L2 = L1 + l; A21 = A12 + a ± π. ( 6. 20 )
При вычислении обратного азимута знак плюс берется, когда прямой азимут меньше π и знак минус – когда он больше π.
Особенностями применения ф-л ( 6. 18 ) при вычислениях искомых разностей явл. то, что нам неизвестны средние значения широт и азимутов, поэтому задача решается методом последовательных приближений. На первом этапе принимают ( Am )(1) = A12 ; ( Bm )(1) = B1, а значения разностей, стоящих в скобках ур-ний ( 6. 18 ), равными нулю. Получают первоначальные значения разностей из этих ур-ний b (1 ) , l (1) , a (1), , с учетом к-рых получают значения средних широт и долгот по ф-лам:
( Bm )(1) = B1 + b(1) / 2 ; Am = A12 + a(1) / 2.
Для расстояний до 30 км второе приближение дает искомые разности с достаточной точностью, для контроля выполняют третье приближение. Получив значения разностей, искомые величины находят по ф-лам ( 6. 20 )
23. Порядок решения обратной геод. Задачи
Здесь известными величинами явл.: B1, B2 , L1, L2 , требуется определить: s12 , A12 , A21. Среднюю широту определяем по ф-ле Bm = ( B1 + B2 ) / 2 и разности широт и долгот b = B2 – B1; l = L2 – L1.
Далее
замечаем, чт в ( 6. 18 ) первые два ур-ния
можно записать с учетом ( 6. 19 ) в виде
.
(
6. 21 )
Разделив второе ур-ние на первое и ограничиваясь принятой точностью, получим после несложных преобразований ур-ние для вычисления среднего азимута
Из любого из ур-ний ( 6. 21 ) выражаем расстояние s и вычисляем его с контролем по ф-лам
Для вычисления разности азимутов используем третье ур-ние ( 6. 18 ), затем вычисляем искомые прямой и обратный азимуты по ф-лам
A12 = Am – a / 2 ; A21 = Am + a / 2 ± π