41. Необходимое условие существования экстремума.

Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек..

42. Критические точки. Достаточные условия существования экстремума.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'_x=у и z'_y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х_о;у_о) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=ƒ''_xy(х₀;у₀), С=ƒ''_уy(х₀;у₀). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х₀;у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

*****************************************************************************

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x₀. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка максимума.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

В точках x₁ , x₂ ( рис.5a ) и x₃ ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x₁ , x₂ ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то  x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x₀  - точка минимума.

 

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

 

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .