68. Верхние и нижние интегральные суммы

Понятие верхней и нижней сумм :

Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a, b] и T - разбиение этого сегмента точками a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Обозначим через M_i и m_i соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_i-1, x_i]. Суммы

и

называются соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a, b]. Очевидно, что любая интегральная сумма I{xi, ξi} данного разбиения T сегмента [a, b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

Понятия верхней и нижней сумм становятся особенно ясными, если обратиться к геометрическим представлениям. Для простоты рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (см. Рис. 1. и Рис. 2.).

Если T - некоторое разбиение сегмента [a, b], то числа Mi и mi представляют собой в случае непрерывной функции f(x) максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [xi-1, xi] разбиения T. Поэтому верхняя сумма S равна площади, заштрихованной на Рис. 1. ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма s равна площади, заштрихованной на Рис. 2. ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (эта трапеция на рисунках 1 и 2 обведена жирной линией).

Как уже говорилось, из наглядных геометрических представлений вытекает, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. С другой стороны, очевидно, что если разность между верхними и нижними суммами может быть сделана как угодно малой, то эти суммы могут стать как угодно близкими к площади криволинейной трапеции. Поэтому можно ожидать, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхней и нижней суммами могла быть как угодно малой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то интеграл существует.

Доказательство этой теоремы довольно сложно, и мы предпошлем ему некоторые вспомогательные соображения.

Пусть на [a, b] задана непрерывная функция f(x). Разобъем [a, b] на части точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b и обозначим через M_k и m_k наибольшее и наименьшее значения f(x) на частичном промежутке [x_k, x_k+1]. Суммы называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами (отвечающими выбранному способу дробления).

Введение этих сумм вызвано тем обстоятельством, что они полностью определяются способом дробления [a, b], в то время как для определения суммы σ надо задать еще точки ξ_k.

Легко видеть, что при выбранном способе дробления и при любом выборе точек ξ_k будет s ≤ σ ≤ S.

Лемма. Пусть промежуток [a, b] раздроблен на части точками x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b, и составлены суммы S и s, отвечающие этому способу дробления. Если добавим новые точки дробления (сохраняя старые) и снова составим верхнюю и нижнюю суммы S' и s', то окажется

s ≤ s' ≤ S' ≤ S. Другими словами, от добавления новых точек деления нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.