24. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы , или .

Пусть дана гипербола. Если оси декатовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы.

25. Парабола. Каноническое уравнение.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. В декартовой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

 

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

 (2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

 (3)

26. Функция. Характеристики поведения. Сложная функция.

Пусть Х и У – некоторые числовые множества. Функцией называется множество f упорядоченных пар чисел (х,у) таких, что х Х и у У и каждое х входит только в одну пару этого множества, а каждое у, по крайней мере в одну. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у. У – значение функции в точке х. у – зависимая переменная. х – аргумент. У – множетсво значений. Х – область определений.

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Обычно обозначается – С. Функуия называется ограниченной сверху или снизу если: f(x)≤М; f(x)≥m. Способы задания функции: аналитический(формула), табличный, графический. !не всякая линия является графиком функции. Такой пример: х²+у²=1. Функция Дирихле: у=1 если х –рациональное; у=0 если –иррациональное. Ее нельзя изобразить графически. Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). f(x)=f(x+T). Все тригонометрические функции являются периодическими. Сложная функция - это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h(х), то у - cложная функция от х, то есть y = f (h(x)), определённой для тех значений х, для которых значения h(х) входят в множество определения функции f (u). Функция называется чётной, если справедливо равенство

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной (или функцией общего вида).