- •Определители и их св-ва.
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Методы вычисления определителей
- •Обратная матрица. Теорема о существ обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы.
- •Ранг матрицы. Правило вычисления ранга матрицы.
- •Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
- •Правило Крамера
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Метод Гаусса.
- •Вектора. Коорд вектора в декартовой системе координат.
- •Направляющие косинусы вектора
- •Скалярное произведение векторов. Его свойства.
- •.Векторное произведение векторов. Его св-ва.
- •Смешанное произведения векторов
- •Общее уравнение плоскости
- •Уравн плоскости проходящей через три точки в отрезках
- •Параметрическое и каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- •Уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Эллипс. Каноническое уравнение.
- •Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение.
- •Функция. Характеристики поведения. Сложная функция.
- •Пределы функций, их свойства.
- •Теоремы о пределах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел( показательно-степенной предел)
- •Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва функции. Их классификации.
- •Производная функции, ее геометрический смысл.
- •Основные правила дифференцирования
- •Дифференцирование тригонометрических и обратных им функций.
- •Дифференцирование логарифмических, показательных и степенных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование обратных функций и функций заданных параметрически
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •Формула Тейлора.
- •Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.
- •Необходимое условие существования экстремума.
- •Критические точки. Достаточные условия существования экстремума.
- •Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
- •Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
- •Асимптоты.
- •Функции нескольких переменных (Определение, примеры).
- •Пределы функции нескольких переменных и их свойства
- •Частное и полное приращение функций нескольких переменных.
- •Непрерывность функции нескольких переменных их св-ва
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Теорема о смешанных производных второго порядка
- •Полный дифференциал.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •Экстремум функции нескольких переменных.
- •Необходимые и достаточные условия существования безусловного экстремума.
- •Максимум и минимум функции нескольких переменных.
- •Первообразная.
- •Неопределенный интеграл и его свойства
- •Замена переменных в неопределенном интеграле
- •Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование по частям.
- •Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование способом замены переменной.
- •Разложение рациональных дробей на простейшие.
- •Интегрирование элементарных дробей.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •Верхние и нижние интегральные суммы
- •Определенный интеграл, его свойства и простейшие методы интегрирования
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Приложения определенного интеграла к решению геометрических и механических задач.
- •1. Площадь плоской фигуры.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Объем тела вращения.
- •4. Длина дуги кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •Вычисление работы сил
- •Несобственные интегралы первого рода
- •Несобственные интегралы второго рода
- •Длина дуги кривой.
- •Вычисление площадей в прямоугольных координатах.
- •Вычисление объема тела.
- •Объем тела вращения
- •Двойной интеграл.
- •Вычисление двойного интеграла
- •Классификация точек разрыва функции
- •Числовой ряд, сумма ряда.
- •Необходимое условие сходимости ряда.
- •Доказательство
- •Признаки сравнения. Признак Даламбера.
- •Признаки сравнения. Признак Коши.
- •Интегральный признак Коши
- •Интегральный сходимости знакопостоянных рядов.
- •Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница.
- •Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения.
- •Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Решение уравнения.
- •Уравнения в полных дифференциалах.
Функции нескольких переменных (Определение, примеры).
Пределы функции нескольких переменных и их свойства
Число А называется пределом функции f(M) при М , если для любого числа > 0 всегда найдется такое число >0 ,что для любых точек М, отличных от и удовлетворяющих условию < , будет иметь место неравенство < .
Предел обозначают . В случае двух переменных
Частное и полное приращение функций нескольких переменных.
Частные приращения и частные производные.
Пусть в некоторой области задана функция z = f (x, y). Возьмем
произвольную точку M (x, y) и зададим приращение х к переменной х,
оставляя значение переменной y неизменным. Тогда величина
x z=f (x + x, y) - f (x, y) называется частным приращением функции по х.
Если существует предел , то он называется частной
Производной функции z=f (x, y) по переменной х и обозначается одним из
следующих символов: ; z’x; ; f’x(x,y).
Аналогично определяется частная производная функции по у, то есть y z=f (x,y + y) - f (x, y) – частное приращение функции по y. А предел называется частной производной функции z=f (x, y) по переменной
Y и обозначается одним из следующих символов: ; z’y; ; f’y(x,y).
Полное приращение и полный дифференциал.
Для функции z=f (x, y) выражение z=f (x+x, y+y) - f (x, y)
называется полным приращением.
Функция z=f (M ) называется дифференцируемой в точке М, если ее
полное приращение в этой точке может быть представлено в виде z= x+ y+α1x+α2y, где α1 и α2– бесконечно малые функции при х0 и у0 соответственно.
Полным дифференциалом функции z=f (x, y) называется главная часть
полного приращения функции z, линейная относительно х и у, то есть
dz= f’x(x, y)dx + f’y(x, y)dy или dz= dx+ dy
Для функции трех переменных u=f (x, y, z) полный дифференциал
находится по формуле: du= dx+ dy+ dz.
Непрерывность функции нескольких переменных их св-ва
Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) Rn (включая саму точку a).
Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если
f(x) = f(a). |
Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2, …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)
Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2, … , an + Δxn) − f(a1, a2, … , an). |
называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx1, Δx2, …, Δxn}.
Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию
Δu = 0. |
Приращение
δxku = f(a1, … , ak + Δxk, … , an) − f(a1, a2, … , an) |
называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.
Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, … , an) по переменной xk , если
δxku = 0. |
Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn .
Обратное утверждение неверно.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) D .
Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a
Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.
Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):
Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.