7. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Aij – коэффициенты системы. b- свободные члены системы. х – искомые величины (неизвестные). Коэффициенты а образуют матрицу А С истема уравнений называется однородной, если b1=b2=…=bn=0 и неоднородной в противном случае.      Систему можно записать в матричном виде А*Х=В.

Решением системы  называется любой набор чисел, которые при подстановке в систему вместо неизвестных «х» превращают все уравнения системы в верные равенства.

Решением системы называется столбец чисел, который после подстановки в уравнение вместо столбца превращает уравнение  в верное матричное равенство.

8. Правило Крамера

9. Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

                         

В матричной форме система имеет вид АХ = В,

где А=  - матрица коэффициентов системы;

Х =   - матрица-столбец переменных; В =   - матрица-столбец свободных членов.

Решением системы (1) называется всякий вектор  , координаты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы эквивалентные, если множества их решений совпадают. Метод Гаусса – см вопрос 11.

10. Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А равнялся рангу матрицы B(расширенная марица) (rA=rB).

Система называется несовместной,если система ни имеет ни одного решения, т.е. ранг матрицы А меньше ранга матрицы В. Совместная система называется опеределённой, если она имеет одно решение, более одного – неопределённой. Система будет определённой, если ранг А будет равен числу неизвестных (rA= n) и неопределённой если rA< n.

Если все свободные члены матрицы равны 0, то система линейных уравнений называется однородной и всегда совместима.

11. Метод Гаусса.

Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Элементарными преобразованиями системы являются: умножение уравнения на число, отличное от нуля; сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением; перестановка уравнений; отбрасывание уравнения 0 = 0.

Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0 = k (где k 0), то система несовместна.

Перейдем теперь к решению систем с различным количеством неизвестных и уравнений. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Если такая система совместна, то при r<n она имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть получено из общего решения системы.

Для нахождения общего решения нам необходимо выбрать, какие неизвестные мы будем считать основными (базисными). Это могут быть любые r переменных, коэффициенты при которых составляют определитель, отличный от нуля. Затем выбранные основные переменные нужно выразить через свободные. Для этого с помощью элементарных преобразований необходимо расширенную матрицу системы привести к такому виду, чтобы коэффициенты при базисных переменных образовали так называемые базисные столбцы - столбцы, состоящие из нулей и одной единицы.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению очередной итерации:

1. Выбирают переменную  , которая войдет в число базисных, и уравнение, в котором эта переменная останется. Соответствующие столбец и строку таблицы называют ключевыми. Коэффициент  , стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника: составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали и полученную разность делят на ключевой элемент.