Двойной интеграл.
Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.
Здесь
В
прямоугольных координатах:
,
где
— элемент площади в прямоугольных
координатах.
Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть
функция f(x,y)
принимает в области D
только положительные значения. Тогда
двойной интеграл
численно
равен объему V
вертикального цилиндрического тела,
построенного на основании D
и ограниченного сверху соответствующим
куском поверхности z=f(x,y)
.
Выражение двойного интеграла через полярные координаты
В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен r. Таким образом получаем, что
=
.
Здесь
является элементом площади в полярных
координатах.
Вычисление двойного интеграла
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке схематически изображены графики функций, один из которых непрерывен при x = a, а один имеет разрыв.
Непрерывна при x
= a.
Имеет разрыв при
x = a.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке:
Существуют левосторонний предел
и правосторонний предел
;Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов
называется скачком
функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Числовой ряд, сумма ряда.
Пусть даны 
,
тогда 
–
ряд, где 
–
член ряда.
Примеры различных рядов:
1) 1+2+4+…+
–
ряд сходится.
2)
1–1+1–1+…+
–
расходится.
3) 
–
расходится (гармонический ряд).
4) 
5) 
–сходится.
,
при 
.
–
частичная сумма
Если 
,
то 
–
сумма ряда. Ряд сходиться, если этот
предел существует, и расходиться, если
не существует.
Теорема. О сходимости ряда.
Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.
Признаки сходимости ряда.
1. Необходимый
признак сходимости: 
2. Достаточный
признак расходимости: 
Доказательство:
