75. Несобственные интегралы второго рода

 

Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.

1. Пусть функция  y = f(x)  определена и непрерывна на [a,b) и в точке b функция не ограничена.

.

 

Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.

 Если F(x) - первообразная функции, то

.

2.Пусть функция  y = f(x) определена и непрерывна на [a,c)È(c,b], и в точке с функция терпит разрыв второго рода.

. Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противном случае – расходящимся.

Замечание 1. Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: первого и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.

Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов. .             

76. Длина дуги кривой.

Если плоская кривая задана уравнением   то её длина равна:

В полярных координатах 

Если дуги пространственной кривой заданы параметрически уравнениями x= x(t), y=y(t), z= z(t) при изменении t от а до b имеем:

77. Вычисление площадей в прямоугольных координатах.

 Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

 а) Допустим, что фигура предполагает наличие границы

является криволинейной трапецией и , при условии, что на

Е сли находится ниже оси (рис. 18.1), то

Рис. 18.1

б) Предположим, что для фигуры харакерно наличие границы Площадь (рис. 18.2, а),

Рис. 18.2

 соответственно получаем формулу

В общем случае площадь находится с помощью формулы

 

78. Вычисление объема тела.

79. Объем тела вращения

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения данной кривой y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из элементов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х + х. Будем считать, что х достаточно мало и заменим объем тела Е объемом прямого цилиндра, высота которого x,а площадь основания S(x) = П f ²(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное выражение (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из , написанная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V,

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается формулой