- •Определители и их св-ва.
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Методы вычисления определителей
- •Обратная матрица. Теорема о существ обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы.
- •Ранг матрицы. Правило вычисления ранга матрицы.
- •Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
- •Правило Крамера
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Метод Гаусса.
- •Вектора. Коорд вектора в декартовой системе координат.
- •Направляющие косинусы вектора
- •Скалярное произведение векторов. Его свойства.
- •.Векторное произведение векторов. Его св-ва.
- •Смешанное произведения векторов
- •Общее уравнение плоскости
- •Уравн плоскости проходящей через три точки в отрезках
- •Параметрическое и каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- •Уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Эллипс. Каноническое уравнение.
- •Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение.
- •Функция. Характеристики поведения. Сложная функция.
- •Пределы функций, их свойства.
- •Теоремы о пределах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел( показательно-степенной предел)
- •Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва функции. Их классификации.
- •Производная функции, ее геометрический смысл.
- •Основные правила дифференцирования
- •Дифференцирование тригонометрических и обратных им функций.
- •Дифференцирование логарифмических, показательных и степенных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование обратных функций и функций заданных параметрически
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •Формула Тейлора.
- •Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.
- •Необходимое условие существования экстремума.
- •Критические точки. Достаточные условия существования экстремума.
- •Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
- •Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
- •Асимптоты.
- •Функции нескольких переменных (Определение, примеры).
- •Пределы функции нескольких переменных и их свойства
- •Частное и полное приращение функций нескольких переменных.
- •Непрерывность функции нескольких переменных их св-ва
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Теорема о смешанных производных второго порядка
- •Полный дифференциал.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •Экстремум функции нескольких переменных.
- •Необходимые и достаточные условия существования безусловного экстремума.
- •Максимум и минимум функции нескольких переменных.
- •Первообразная.
- •Неопределенный интеграл и его свойства
- •Замена переменных в неопределенном интеграле
- •Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование по частям.
- •Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование способом замены переменной.
- •Разложение рациональных дробей на простейшие.
- •Интегрирование элементарных дробей.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций.
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •Верхние и нижние интегральные суммы
- •Определенный интеграл, его свойства и простейшие методы интегрирования
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Приложения определенного интеграла к решению геометрических и механических задач.
- •1. Площадь плоской фигуры.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Объем тела вращения.
- •4. Длина дуги кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •Вычисление работы сил
- •Несобственные интегралы первого рода
- •Несобственные интегралы второго рода
- •Длина дуги кривой.
- •Вычисление площадей в прямоугольных координатах.
- •Вычисление объема тела.
- •Объем тела вращения
- •Двойной интеграл.
- •Вычисление двойного интеграла
- •Классификация точек разрыва функции
- •Числовой ряд, сумма ряда.
- •Необходимое условие сходимости ряда.
- •Доказательство
- •Признаки сравнения. Признак Даламбера.
- •Признаки сравнения. Признак Коши.
- •Интегральный признак Коши
- •Интегральный сходимости знакопостоянных рядов.
- •Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница.
- •Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения.
- •Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Решение уравнения.
- •Уравнения в полных дифференциалах.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, — фиксированный вектор.
Обозначим = (M) — угол между векторами AB и |
|||||
|
|||||
Ненулевой вектор n ⃗ называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если
Т очка поверхности F(x,y,z) = 0 называется обыкновенной, если в этой точке
При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.
|
|||||
|
|||||
Теорема 1. Если M(x0, y0, z0) — обыкновенная точка поверхности F(x,y,z) = 0 , то вектор = grad F(x0, y0, z0) = F'x(x0, y0, z0) + F'y(x0, y0, z0) +F(x0, y0, z0) |
|
|
является нормальным к этой поверхности в точке M(x0, y0, z0) .
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.
Н ормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора .Уравнение касательной плоскости к поверхности составляем как уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей известный нормальный вектор:
|
(3) |
анонические уравнения нормали к поверхности в ее точке имеют вид:
|
(4) |
Оба уравнения составлены как известные из аналитической геометрии уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид: F'x (x0, y0, z0) · (x − x0) + F'y (x0, y0, z0) · (y − y0) + F'z (x0, y0, z0) · (z − z0) = 0. |
Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке a(x0, y0) . Ее графиком является поверхность f(x,y) − z = 0.
Положим z0 = f(x0, y0) . Тогда точка A(x0, y0, z0) принадлежит поверхности.
Частные производные функции F(x, y, z) = f(x, y) − z суть
F'x = f'x, F'y = f'y, F'z = − 1
и в точке A(x0, y0, z0)
они непрерывны;
F'2x + F'2y + F'2z = f'2x + f'2y + 1 ≠ 0 .
Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F(x, y, z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид: f'x(x0, y0) (x − x0) + f'y(x0, y0) (y − y0) − (z − z0) = 0.
Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a(x0, y0) в произвольную точку p(x, y) есть BQ (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть (z − z0) = f'x(x0, y0) (x − x0) + f'y(x0, y0) (y − y0).
Здесь в правой части стоит дифференциал dz функции z = f(x,y) в точке a(x0, x0). Следовательно,df(x0, y0). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f(x, y) в точке (x0, y0, z0 = f(x0, y0)).
Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a.