Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания представляют собой наиболее простой вид колебаний. Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса (синуса). Изучение гармонических колебаний важно по следующим причинам:
а) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;
б) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение периодических колебаний.
Гармонические колебания некоторой
величины
описываются уравнениями вида:
,
,
где
– амплитуда колебания, т.е. положительное
наибольшее отклонение величины
от ее значения в состоянии равновесия;
– круговая или циклическая частота;
и
– фазы колебаний, характеризующие
текущее отклонение величины
от состояния равновесия.
При
или
,
т.е.
и
– это начальные фазы колебаний.
Существуют связи между параметрами гармонических колебаний:
,
где
– частота колебаний или количество
полных колебаний в единицу времени,
–
период колебаний, или время одного
полного колебания.
Необходимо отметить, что выражение с синусом используется тогда, когда колебания начинаются от положения равновесия. А выражение с косинусом применяются тогда, когда колебания начинаются от максимального отклонения.
Продолжим рассмотрение характеристик свободных гармонических колебаний. Определим скорость и ускорение колеблющейся материальной точки.
;
;
.
Видно, что скорость и ускорение
колеблющейся точки изменяются со
временем также по гармоническому закону.
Колебания скорости опережают колебания
координаты на угол
,
колебания ускорения происходят в
противофазе с колебаниями координаты
(левый рисунок).
Кинетическая энергия
К
материальной точки массой
,
совершающей колебания:
Для определения потенциальной
энергии П
материальной точки, запишем выражение
для силы
,
действующей на точку. По второму закону
Ньютона
Поскольку
,
.
Такая зависимость характерна для упругой силы. Работа этой силы при элементарном бесконечно малом изменении конфигурации системы (изменении ) равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус:
.
Кинетическая и потенциальная энергии
периодически изменяются от 0 до
по гармоническому закону с частотой
(правый рисунок). Колебания кинетической
энергии происходят в противофазе с
колебаниями потенциальной энергии, а
их сумма в любой момент времени одинакова
(упругая сила консервативна,
следовательно, выполняется закон
сохранения энергии).
П
олная
энергия колебательной системы будет
равна сумме кинетической и потенциальной
энергий.
Основное уравнение динамики гармонических колебаний Гармонический осциллятор
Любую колебательную систему принято называть осциллятором, а если поведение осциллятора подчиняется гармоническому закону, то гармоническим осциллятором.
Определим вид уравнения гармонического осциллятора. Для этого вновь обратимся ко второй производной от уравнения движения колеблющейся материальной точки.
.
Если учесть, что
,
это выражение можно переписать в виде
.
Это выражение и называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Решением этого уравнения является следующие выражения.
и
Уравнение гармонического осциллятора является линейным, его решения подчиняются принципу суперпозиции.