Представление колебаний посредством векторных диаграмм (метод векторных диаграмм)

Решение ряда задач значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Изображенная таким способом схема колебаний называется векторной диаграммой.

Рассмотрим произвольный вектор , образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение относительно точки , с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси (опорной линии) в пределах от до . Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

Следовательно, проекция конца вектора будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной (углу, образованному вектором в начальный момент времени).

Е сли  > 0, то  – откладывается "вверх" – против часовой стрелки по отношению к опорной линии. – проекция вектора на опорную линию.

– т.е. проекция вектора равна смещению в момент времени t = 0.

При  > 0 вращение происходит против часовой стрелки. За промежуток времени t вектор амплитуды повернётся на угол t и займёт новое положение. Его проекция на опорную линию будет равна . За время равное периоду колебаний T, вектор амплитуды повернётся на угол 2, и проекция вектора амплитуды совершит полное колебание около положения равновесия (точки О). Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания.

Этим представлением широко пользуются.

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем производить методом векторных диаграмм.

Пусть колебания заданы уравнениями.

и

Так как колебания совершаются вдоль одной прямой, то и результирующее колебание будет направлено вдоль этой же прямой. Отложим из точки О вектор под углом ₁ к опорной линии и вектор под углом ₁. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ₀, поэтому угол ₂ – ₁ между ними всегда постоянен.

Н ам известно, что проекция суммарного вектора равна сумме проекций слагаемых на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ₀, что и вектора и . Результирующее колебание должно быть гармоническим с частотой ₀.

Необходимо найти результирующую амплитуду A. Сложение проводим для момента времени t = 0. Вектора отложим под начальными углами ₁ и ₂. Из рисунка видно, что величину результирующей амплитуды можно получить следующим образом.

Распишем каждое слагаемое.

Учтём.

Перепишем.

Учтём, что косинус отрицательного угла равен косинусу положительного угла, и что ₁ < ₂. Тогда окончательно запишем.

(1)

Начальная фаза результирующего колебания ₀ определится из следующего соотношения.

(2)

Из анализа выражения (1) для амплитуды следует, что амплитуда A результирующего колебания зависит от разности начальных фаз ₂ – ₁. Так как разность ₂ – ₁ = const (такие колебания называются когерентными), то по формуле (1) можно получить вполне определённое значение результирующей амплитуды A. Косинус любого угла заключён в пределах от –1 до +1. Следовательно, возможные значения A лежат в следующих пределах.

Модуль берётся потому, что амплитуда не может быть отрицательной.

Рассмотрим для примера несколько случаев.

1. Разность фаз равна нулю или чётному числу , т.е.

n = 0, 1, 2, 3, ….

Тогда cos(₂ – ₁) = 1 и A = A₁ + A₂.

График зависимости смещения от времени будет иметь вид.

2. Разность фаз равна нечётному числу , т.е.

n = 0, 1, 2, 3, ….

Тогда cos(₂ – ₁) = – 1 и A =| A₁ – A₂| = | A₂ – A₁|.

Если A₁ = A₂, то результирующая амплитуда A = 0, т.е. колебаний не будет.

3 . Разность фаз колебаний изменяется во времени произвольным образом.

Из уравнения (1) следует, что результирующая амплитуда A  const, а будет изменяться в соответствии с величиной меняющейся разности фаз исходных колебаний.

Поэтому при сложении некогерентных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд. Следовательно, сумма гармонических колебаний одного направления с разными частотами не является гармоническим колебанием.

Но в некоторых случаях наблюдаются вполне определённые закономерности.

Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало различаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Пусть имеются два колебания, различающиеся только частотами:

,

,

где .

Сложив эти колебания и применив теорему сложения косинусов:

,

получим уравнение результирующего колебания:

В итоге получили выражение для почти гармонического колебания с частотой , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону.

Частоту называют циклической частотой биений.

– период биений.

Периодическое изменение амплитуды от максимума до минимума называются биениями. Амплитуда результирующего колебания изменяется с частотой следующим образом.

Явление биения часто наблюдается при звуковых и электрических колебаниях.

В общем случае колебания вида называются модулированными. Различают частные случаи: амплитудная модуляция (амплитуда колебания зависит от времени по определённому закону); модуляция по фазе или частоте (фаза колебаний зависит от времени). Биения – это простейший вид модулированных колебаний.

Важной задачей теории колебаний является гармонический анализ, т.е. представление сложных модулированных колебаний в виде суммы (в виде ряда) простых гармонических колебаний. Используются ряды Фурье. Например.