Экспоненциальная форма представления колебаний

Для того чтобы ввести новый вид записи колебаний необходимо разобраться с комплексными числами.

Комплексным числом z называется число следующего вида.

(1)

где x и y – вещественные числа, а i – мнимая единица ( ).

Число x называется вещественной частью комплексного числа z. Символически это записывается в следующем виде x = Re z. Число y называется мнимой частью числа z (записывается: y = Im z). Число

(2)

называется комплексно сопряжённым числу .

Вещественному числу x можно сопоставить точку на оси x. Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты x, y. Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать в виде (1) с помощью декартовых координат x и y соответствующей точки. То же самое число можно задать с помощью полярных координат  и . Между этими парами координат имеются следующие соотношения.

(3)

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа и обозначается |z|.

(4)

Число  называется аргументом комплексного числа z. Приняв во внимание все соотношения (3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме.

(5)

Два комплексных числа, и , считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части.

z₁ = z₂, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂. (6)

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут различаться лишь слагаемым, кратным 2.

(7)

Из выражений (1) и (2) видно, что в случае, когда z* = z, мнимая часть z есть нуль, т.е. число z оказывается чисто вещественным. Таким образом, условия вещественности числа z можно записать в следующем виде.

(8)

В математике доказывается следующее соотношение.

(9)

Это выражение называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле  на – и учтя, что cos(–) = cos, а sin(–) = –sin(), получим следующее соотношение.