- •Физика колебаний и волн Общие представления о колебательных и волновых процессах
- •Гармонические колебания и их характеристики
- •Основное уравнение динамики гармонических колебаний Гармонический осциллятор
- •Экспоненциальная форма представления колебаний
- •Маятники
- •Представление колебаний посредством векторных диаграмм (метод векторных диаграмм)
- •Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
- •Свободные затухающие механические колебания
- •Характеристики затухающих колебаний
- •Вынужденные механические колебания
- •Электрические колебания Квазистационарные токи
- •Свободные электромагнитные колебания в контуре без активного сопротивления
- •Свободные затухающие электрические колебания в контуре
- •Вынужденные электрические колебания
- •Переменный электрический ток
Маятники
Математический маятник
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести.
И зобразим такой маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево. Введем следующие обозначения: – сила тяжести, – сила натяжения нити, – радиус-вектор.
Момента силы тяжести относительно оси. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения так, что образует правый винт с направлением вращения (движения) маятника. Угловое ускорение совпадает по направлению с вектором , если угловая скорость увеличивается, и направлено в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пренебрежем силами трения и сопротивления среды. Для получения уравнения движения применим основной закон вращательного движения твердого тела.
В этом уравнении – момент инерции точки относительно оси, проходящей через точку подвеса. Момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия; момент силы натяжения нити относительно той же оси равен нулю.
Величины, входящие в уравнение запишем следующим образом:
, ,
Отсюда основной закон вращательного движения в проекции на ось вращения может быть записан в следующем виде.
Знак "минус" означает, что действие силы тяжести направлено против движения маятника. Окончательно получим.
где
В итоге получили обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника при любой величине угла отклонения от вертикали. Если рассматривать малые отклонения маятника от положения равновесия , то из выражения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний (при ):
при этом имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника. Период этих колебаний определяется по формуле . Решением этого уравнения является известная формула гармонических колебаний
Физический маятник.
Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с центром инерции. Т.е. это любое тело, которое нельзя представить материальной точкой.
Физический маятник схематично изображен на рисунке. - это точка подвеса, – положение центра инерции тела, – расстояние от точки подвеса до центра инерции, – масса тела.
В ывод уравнения движения физического маятника полностью идентичен выводу уравнения движения математического маятника. Отличие состоит в том, что в общем случае невозможно записать вид выражения для момента инерции маятника.
Обозначим собственную частоту колебаний физического маятника, как , получим такие же уравнения, как и для математического маятника.
Для физического маятника вводят понятие приведенной длины.
Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, круговая частота колебаний которого совпадает с круговой частотой физического маятника:
Действительно, , , .
В итоге получим .
Пружинный маятник.
П ружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего прямолинейные гармонические колебания поле сил тяжести под действием упругой силы. Пусть груз сместился от положения равновесия вниз и продолжает движение вниз. На груз действует сила тяжести и сила упругости деформированной пружины, пропорциональная смещению от положения равновесия:
,
где – величина, называемая жесткостью пружины.
Закон пружинного движения маятника выражается равенством
.
Отсюда дифференциальное уравнение колебаний маятника запишется в виде:
.
Маятник совершает гармонические колебания по закону
с собственной круговой частотой .
Приведенные примеры показывают, что отличающиеся друг от друга механические системы совершают колебания, которые описываются одинаковыми уравнениями, т.е. ведут себя аналогичным образом.