- •Физика колебаний и волн Общие представления о колебательных и волновых процессах
- •Гармонические колебания и их характеристики
- •Основное уравнение динамики гармонических колебаний Гармонический осциллятор
- •Экспоненциальная форма представления колебаний
- •Маятники
- •Представление колебаний посредством векторных диаграмм (метод векторных диаграмм)
- •Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
- •Свободные затухающие механические колебания
- •Характеристики затухающих колебаний
- •Вынужденные механические колебания
- •Электрические колебания Квазистационарные токи
- •Свободные электромагнитные колебания в контуре без активного сопротивления
- •Свободные затухающие электрические колебания в контуре
- •Вынужденные электрические колебания
- •Переменный электрический ток
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей и . Такой случай возникает, например, если на управляющие вертикальные и горизонтальные пластины осциллографа подать периодические гармонические сигналы. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю ( = 2 – 1 = ). Тогда уравнения колебаний будут иметь вид:
;
;
Для нахождения уравнения траектории результирующего колебания исключим из уравнений параметр :
;
Преобразуем второе уравнение и распишем его через косинус суммы.
Перепишем последнее уравнение следующим образом и возведём левую и правую части в квадрат.
Перепишем.
Преобразуем.
И окончательно запишем.
(1)
Или в общем виде.
Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно осей x и y.
Исследуем уравнение (1) и выясним форму кривых, определяемых этим уравнением.
а) Пусть разность фаз , Из (1) при этом следует
При четных получается
, или ,
При нечетных получается .
П ервому из полученных уравнений соответствует прямая 1 – 2 на рисунке, второму уравнению – прямая 3 – 4.
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами и частотами колебания будут происходить вдоль прямой, проходящей через начало координат.
А мплитуда результирующего колебания в обоих случаях будет равна.
б) Пусть разность фаз будет любой, кроме уже рассмотренных значений. Тогда уравнением траектории будет выражение (1). Это уравнение эллипса. Таким образом, точка, участвующая в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковой частотой, движется по эллиптической траектории, соответствующим образом ориентированной по отношению к выбранной системе координат. Параметры траектории определяются соотношением амплитуд и разностью фаз исходных колебаний. Пример: если , , то уравнение (1) преобразуется к виду
.
Это так называемое каноническое уравнение эллипса с полуосями A и B. На рисунке стрелками показано направление движения точки вдоль траектории при и . Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Это случай эллиптически поляризованных колебаний.
При эллипс вырождается в окружность. Это циркулярно поляризованные колебания.
Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения может иметь вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Пример: Пусть отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний равно 1:2 и разность фаз . Уравнения колебаний имеют вид:
,
Результирующее колебание показано на рисунке. Траектория вырождается в незамкнутую кривую, по которой точка движется туда и обратно. Это одна из простейших фигур Лиссажу. Возможно, на лабораторном практикуме Вы будете выполнять эту лабораторную работу.