Характеристики смо

Основные характеристики

– среднее число заявок в СМО;

– среднее время пребывания заявок в СМО;

– средняя длина очереди;

– среднее время ожидания заявок в очереди;

– вероятность отказа в обслуживании;

– вероятность того, что в системе отсутствуют заявки (часть времени, когда каналы обслуживания простаивают).

Производные характеристики

– среднее число свободных мест в очереди;

– среднее число занятых каналов;

– среднее число свободных (простаивающих) каналов;

– эффективный (реальный) поток заявок, который обслуживается.

Связи между основными характеристиками (формулы Литтла)

В установившемся режиме функционирования СМО будем фиксировать число заявок в системе во времени n(t). Результаты представлены на рис. 1.3, он показывает, сколько заявок находится в каждый момент времени в СМО.

Обозначим через , – время наблюдения.

Среднее число заявок в СМО будет определяться из выражения: ; число заявок, обслуженных за интервал времени : ; среднее время пребывания заявок в СМО определяется из .

n(t)

0 t₁ t₂ t

Рис. 1.3. График изменения числа заявок в СМО во времени

Сравнивая выражения для и , можем записать связь между ними:

. (1.1)

Аналогично для средней длины очереди получим:

. (1.2)

и отличаются временем обслуживания.

, (1.3)

где – среднее время обслуживания.

Таким образом, вычислив и , можно, используя (1.1), (1.2), (1.3), вычислить все основные характеристики:

.

Отметим также следующие соотношения:

;

;

.

Чтобы найти , необходимо определить (вероятности того, что в СМО находится ровно заявок), так как

.

Таким образом, задача определения характеристик СМО сводится к определению вероятностей ( ).

1.2. Потоки заявок

В СМО входной поток заявок случайный. Если же заявки поступают через определенный интервал времени , то такой поток называется регулярным.

Остановимся на общем случае, когда для его описания требуется задать – плотность функции распределения интервала между поступлением заявок, и – интенсивность, определяемая числом заявок в единицу времени.

Рассмотрим несколько видов потоков, которые нам потребуются для анализа СМО.

1.2.1. Простейший (пуассоновский) поток

Свойства потока:

– стационарность: число заявок за интервал зависит только от величины и не зависит от расположения интервала на временной оси. Для стационарного потока ;

– безпоследействие: число заявок в интервал не зависит от числа заявок за другой интервал , если они не пересекаются;

– ординарность: вероятность поступления в интервал времени больше одной заявки стремится к нулю.

Исходя из этих свойств, получим распределение Пуассона.

Выберем конечный интервал , на нем :

Из свойства ординарности:

– вероятность того, что за поступит 1 заявка;

– вероятность того, что за не поступит заявок.

Разделим интервал на равных участков:

.

Вероятность того, что за интервал наступит ровно заявок, равна:

.

Учитывая свойство безпоследействия:

; (1.4)

. (1.5)

Подставляя (1.5) в (1.4), получим:

– вероятность того, что за время поступит ровно заявок.

Обозначим , тогда ; (используется свойство стационарности). Полученное определяет распределение Пуассона, отсюда и название потока заявок.

Вероятности рассчитываются на основе :

Математическое ожидание числа заявок за интервал t:

.

Дисперсия числа заявок за интервал t:

Произведем замену :

.

Отметим полученную отличительную особенность пуассоновского распределения – математическое ожидание равно дисперсии.

Определим плотность функции распределения интервала времени между моментами поступлениями заявок в пуассоновском потоке:

.

Откуда следует, что искомая функция (экспоненциальное распределение). Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны:

Следовательно, пуассоновский поток заявок можем описать либо распределением Пуассона количества заявок за определенный интервал времени, либо экспоненциальным распределением времени между моментами поступлениями заявок.

Отметим, что вероятность того, что за малый промежуток времени поступит заявка, равна

.

Операции с пуассоновскими потоками:

а) суперпозиция (объединение) двух или нескольких пуассоновских потоков образует пуассоновский поток;

б) операция случайного просеивания (разделения) пуассоновского потока дает на выходе пуассоновские потоки. При разделении потока должно быть задано дискретное распределение вероятностей, с которыми заявки из основного (входного) потока попадают в каждый из выходных потоков. Суть операции: каждая заявка из входного потока переходит в один из выходных в соответствии с заданным распределением.

При случайном просеивании заявок сохраняются все его свойства (ординарности, безпоследействия, стационарности).