1.2.2. Потоки Эрланга

Пусть имеем пуассоновский поток: :

Проведем регулярное (не случайное) просеивание потока. Если будем исключать каждую вторую заявку, то получим поток Эрланга второго порядка. Если оставлять каждую третью, то получим поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Плотность распределения интервала времени между заявками потока Эрланга второго порядка равна:

.

Плотность функции распределения потока Эрланга 2-го порядка (рис. 1.4):

.

Для потока порядка получим:

Рис.1.4. Плотность функции распределения Эрланга

Математическое ожидание интервала времени между заявками потока Эрланга порядка равно:

,

где – интенсивность пуассоновского потока, из которого сгенерирован поток Эрланга (порождающего пуассоновского потока).

Дисперсия интервала времени между заявками потока Эрланга порядка равна:

.

Интенсивность потока Эрланга равна:

.

Выразим функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию через .

;

;

.

Аппроксимация произвольного потока заявок потоком Эрланга

Пусть задана произвольная плотность функции распределения – интервал времени между заявками для произвольного закона с и .

Для потока Эрланга:

. (1.6)

Пример.

Пусть задан поток неизвестного распределения с интенсивностью 15 заявок/ч, 4 мин.; 1 мин.²

Данный поток можно аппроксимировать потоком Эрланга 16 порядка с интенсивностью , который генерируется из пуассоновского потока с интенсивностью заявок/ч.

1.2.3. Верификация потоков заявок

При исследовании СМО необходимо в первую очередь проанализировать входной поток заявок с целью определения его характеристик. Для этого производится регистрация в той или иной форме моментов поступления заявок за длительный период времени. По этим данным можно построить гистограмму распределения числа заявок за заданный отрезок времени, например, 1 ч, или распределение интервала времени между поступлением заявок в СМО.

Рассмотрим вопросы анализа потока заявок на примере. Пусть в течение ч вели наблюдение за поступлением заявок, в результате получили распределение числа заявок в час, приведенное в табл. 1.1 и на рис. 1.5 (n – количество заявок, поступивших за 1 час, m_n – число часов из 121, в которые зарегистрировано поступление ровно n заявок).

Таблица 1.1

Распределение числа заявок в час

n	0	1	2	3	4	5	6
mn	10	31	40	20	10	4	6

m_n

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 n

Рис. 1.5. Гистограмма распределения числа заявок

Вычислим среднее число заявок в час:

Среднеквадратичное отклонение:

.

Так как математическое ожидание и оценка дисперсии близки, то можно выдвинуть гипотезу, что это распределение Пуассона.

Проверим гипотезу по критерию согласия, сначала – по критерию Пирсона (табл. 1.2):

– интенсивность потока.

Отметим, что в каждом интервале должно быть не менее 6. Если меньше, то необходимо объединить интервалы.

Таблица 1.2

Расчеты для проверки гипотезы по критерию Пирсона

n	0	1	2	3	4	5	6
mn	10	31	40	20	10	4	6
Pn	0,110	0,242	0,267	0,195	0,110	0,076
NPn	13,3	29,2	36,3	23,6	13,3	9,1
						объединили интервалы

P_n – вероятности поступления за 1 ч ровно n заявок, соответствующие распределению Пуассона:

; ;