1.4.1. Одноканальные пуассоновские смо

СМО без очереди (N=0). Используем теорию процессов гибели и размножения для определения вероятностей (рис. 1.9).

 ;

.

Вероятность отказа заявки в обслуживании равна :

.

Среднее число заявок в системе равно:

. (1.17)

Среднее время пребывания в СМО равно среднему времени обслуживания:

; (1.18)

так как очереди в СМО нет, то

Эффективный поток заявок определяется по формуле:

.

СМО с ограниченной очередью

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.10.

Конечное состояние в системе определяется максимальным числом мест в очереди плюс 1 канал обслуживания. Введем обозначение . Система уравнений для нахождения предельных вероятностей имеет вид:

(1.19)

Учитывая, что , получим уравнение для определения :

 ,

откуда получим , где – любое, т.е. на отношение не накладывается никаких ограничений.

Вероятности .

Определим среднее число заявок в СМО:

. (1.20)

Обозначим через , тогда

(1.21)

Подставив (1.20) в (1.21), получим:

. (1.22)

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

;

.

Используя формулы Литтла (1.1 – 1.3), получим:

; (1.23)

; (1.24)

. (1.25)

Рассмотрим частный случай, когда , т.е. . В этом случае :

;

.

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

     СМО с неограниченной очередью. Так как СМО без отказов, то , а .

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью.

. (1.26)

Чтобы существовал предел, необходимо выполнение условия , которое означает, что интенсивность обслуживания должна быть больше интенсивности потока заявок, иначе очередь будет расти до бесконечности.

Отметим, что в СМО с бесконечной очередью

. (1.27)

Предел (1.26) равен: , и тогда

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Рассмотрим вопрос о функции распределения времени пребывания в одноканальной СМО с бесконечной очередью при дисциплине очереди FIFO.

В ремя пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок (система находится в состоянии S_n, равно сумме длительностей обслуживания n заявок. Так как время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то плотность функции распределения условной вероятности времени пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок, определяется так же, как распределение Эрланга n порядка (см. раздел 1.2.2)

Искомая плотность функции распределения определяется выражением:

С учетом (1.19) и (1.27), запишется в виде:

Видим, что − экспоненциальное распределение с математическим ожиданием  , что совпадает с (1.28).

Из того, что − экспоненциальное распределение, следует важный вывод: выходной поток заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью является пуассоновским потоком.