1.4.2. Многоканальные пуассоновские смо

СМО с ограниченной очередью (N>0)

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Размеченный граф многоканальной СМО с ограниченной очередью

Составим систему уравнений для определения предельных вероятностей состояний:

, где

.

Введем обозначение , тогда

, и

.

Учитывая условие, что сумма всех вероятностей равна единице, т.е. , получим :

. (1.31)

Определим среднее число заявок в очереди:

, где ;

. (1.32)

Введем в рассмотрение функцию:

;

. (1.33)

Подставим (1.33) в (1.32):

. (1.34)

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Эффективный поток заявок:

.

Используя формулы Литтла, получим среднее время ожидания заявок в очереди:

.

Время в СМО отличается от на время обслуживания:

.

Наконец среднее число заявок в системе равно:

.

Частный случай .

Система уравнений для определения примет вид:

Определим :

;

.

Средняя длина очереди равна:

.

Учитывая, что , получим:

.

С МО без очереди (N=0)

Рис. 1.12. Размеченный граф многоканальной СМО без очереди

Используя (1.31) при , получим:

.

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Следовательно,

.

Предельные вероятности состояний равны:

.

Так как очередь отсутствует, среднее время нахождения заявок в СМО равно:

. (1.35)

Среднее число заявок в СМО равно:

(1.36)

С МО с неограниченной очередью (N→∞)

Рис. 1.13. Размеченный граф многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для определения характеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при :

;

(1.37)

(1.38)

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО, необходимо выполнение условия

.

1.4.3. Смо с взаимопомощью каналов

Рассмотрим следующие дисциплины взаимопомощи:

(в) – "все как один" (все каналы обслуживают одну заявку до тех пор, пока не закончат);

(р) – равномерная взаимопомощь (равномерно обслуживаются все заявки, находящиеся в СМО): если в системе одна заявка – ее обслуживают все каналы, если в системе две заявки – все каналы разбиваются на две группы и обслуживают обе заявки и т.д. Особенностью этого вида взаимопомощи является выполнение условия – при наличии в СМО хотя бы одной заявки все каналы заняты.

(б) – СМО без взаимопомощи.

Будем рассматривать случаи, когда при взаимопомощи каналов общая интенсивность обслуживания СМО линейно зависит от числа каналов:

,

где  – интенсивность обслуживания одного канала.

Рассмотрим основные характеристики СМО: при различных дисциплинах взаимопомощи.

Смо без очереди

( б)

Для расчета см. формулы (1.35) и (1.36).

(в)

Д ля расчета см. формулы (1.17) и (1.18) с заменой  на m. Всего два состояния, так как каналы не прерывают обслуживание, пока не закончат обслуживание одну заявку.

(р)

Для расчета см. формулы (1.22 – 1.25) с заменой N на m-1, и  на m.

Сравним характеристики: