1.3.3. Процессы гибели и размножения

Процессами гибели и размножения называются марковские процессы, имеющие размеченный граф, приведенный на рис.1.8.

Рис.1.8. Размеченный граф процессов гибели и размножения

− интенсивности размножения, − интенсивности гибели.

Для нахождения вектора предельных вероятностей составим систему уравнений:

(по Колмогорову), (1.14)

. (1.15)

Подставляя (1.14) в (1.15), получим:

Для всех последующих состояний уравнения будут иметь одинаковый вид:

( ).

Чтобы определить все предельные вероятности, воспользуемся условием: . Для этого выразим через :

.                     (1.16)

Введем обозначение , тогда (1.14) и (1.16) запишутся в виде: .

Все оставшиеся вероятности выражаются через :

.

В результате получим выражение для :

.

Определив , можем рассчитать все .

Пример анализа процесса гибели и размножения.

Пусть задан процесс гибели и размножения:

Расчет предельных вероятностей:

;

;

;

Вопросы и задачи

1. Определить предельные вероятности состояний в марковской цепи, описываемой следующей матрицей вероятностей переходов. В начальный момент система находится в первом состоянии

	S1	S2	S3
S1	0,3	0,3	0,4
S2	0,0	1,0	0,0
S3	0,0	0,0	1,0

2. Управляемый объект имеет 4 возможных состояния. Через каждый час производится снятие информации и перевод объекта из одного состояния в другое в соответствии со следующей матрицей вероятностей переходов:

	S1	S2	S3	S4
S1	0,3	0,4	0,0	0,3
S2	0,2	0,2	0,4	0,2
S3	0,4	0,3	0,2	0,1
S4	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти вероятности нахождения объекта в каждом из состояний после второго часа, если в начальный момент он находился в состоянии S_3.

3. По заданным коэффициентам системы уравнений Колмогорова составить размеченный граф состояний. Определить коэффициенты А, В, С, Д в уравнениях:

-А Р1 + 4 Р2 + 5 Р3 = 0

-В Р2 + 4 Р1 + 2 Р4 = 0

-С Р3 + 2 Р2 + 6 Р1 = 0

-Д Р4 + 7 Р1 + 2 Р3 = 0.

4. Физическая система имеет 4 состояния. Размеченный граф состояний приведен ниже.

6

S₁ S₂

4 5 3

S₃ S₄

5

Определить предельные вероятности состояний системы.

1.4. Пуассоновские смо

В пуассоновских СМО входной поток заявок – пуассоновский, т.е. , а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону .