3. Расширение понятия нечеткого множества

1. Нечеткое множество n-типа: если функция принадлежности нечеткого множества задается в виде нечеткого множества, то это нечеткое множество 2 типа. Данное определение может быть введено на нечеткое множество n-типа.

Пусть дано некоторое множество А заданное на элементах x1, x2, x3, x4, x5.

2. Множество α-уровня нечеткого множества А – это четкое подмножество Аα, состоящее из элементов х, значения функции принадлежности которой не меньше, чем α

А α={x | /µ_A(x) ≥ α}

α = 0 Аα = {x1, x2, x3, x4, x5}

α = 0.3 Аα = {x2, x3, x4}

α = 0.9 Аα = {x3, x4}

α = 1 Аα = {x3}

α₁≤ α₂ ==> Aα₁ ⊇ Aα₂

3. Уровневое множество

Λ_А состоит из множества элементов, представляющих собой значения α-уровней этого нечеткого множества А.

Λ_А={ α | µ_A(x)= α, α≥0, x∊X } Λ_А={ 0; 0.3; 0.9; 1}

4. Выпуклое нечеткое множество

Нечеткое множество А, заданное в Евклидовом пространстве Rⁿ, является выпуклым, если соответствующие ему множества α-уровней также выпуклы.

µ_A(t) ≥min(µ_A(r), µ_A(s))

где t = λr+(1-λ)s; r,s∊Rⁿ λ∊[0,1]

Модуль нечеткого множества

Существует 3 понятия модуля нечеткого множества

1. Скалярная мощность НМ.

Вычисляется как сумма всех степеней принадлежности

Пример: Пусть у нас есть некое универсальное множество представляющее возраст. X={0,10,20,…80} A={0/0; 0.4/10; 1/20; 0.5/30; 0/40; 0/50; 0/60; 0/70; 0/80}

|A|=1.9

2. Относительная мощность нечеткого множества вычисляется как отношение скалярной мощности НМ к числу элементов универсального множества, на котором это НМ задано

3. Нечеткая мощность нечеткого множества

; ;

-множество альфа-уровня НМ А

-число элементов множества альфа-уровня

Пример:

A-«молодой» Λ_А={0,0.4,0.5,1}

A₀={0;10;20;30;40;50;60;70;80} | A₀|=9

A_0.4={10;20;30} | A_0.4|=3 A_0.5={20;30} | A_0.5|=2 A₁={20} | A₁|=1

[А]={0/9; 0.4/3; 0.5/2; 1/1}

Принцип обобщения Л. Заде:

Пусть это некоторое заданное отображение и пусть задано некоторое нечеткое множество А, определенное на универсальном множестве X, тогда расширением (extension) нечеткого множества А при отображении является нечеткое множество B определенное в базовом множестве Y с функцией принадлежности

, где ,

Sup – верхняя граница

Нечеткое расстояние d(A,B) между нечеткими множествами А и В может быть представлено нечетким множеством и получено на основе принципа обобщения Заде следующим образом:

Пример: Пусть даны 2 нечетких множества:

Аналогично можно просчитать и для других значений

	a	b
0	1	1	0,1	0,2	0,1	0,7
	2	2	0,5	0,4	0,4
	3	3	1	0,6	0,6
	4	4	0,7	0,8	0,7
	5	5	0,3	1	0,3
1	1	2	0,1	0,4	0,1	0,8
	2	3	0,5	0,6	0,5
	3	4	1	0,8	0,8
	4	5	0,7	1	0,7
	5	4	0,3	0,8	0,3
	4	3	0,7	0,6	0,6
	3	2	1	0,4	0,4
	2	1	0,5	0,2	0,2