6. Показатели неопределенности (размытости) нечетких множеств.

Существует 2 подхода к определению неопределенности:

1. Показатели размытости могут интерпретироваться как показатели неопределенности, противоположности и так далее объектов, обусловленные неполной или частичной принадлежностью объектов к некоторому множеству или классу. Этот подход используется для решения задач классификации объектов.

2. Показатели размытости рассматриваются как мера отличия нечеткого множества от обычного четкого множества.

Существует 2 основных подхода к определению показателей размытости:

1. Аксиоматический – в этом подходе показатель размытости определяется как мера неопределенности объекта х множества Х по отношению к некоторому свойству А. При этом неопределенность объекта определяется в том что он в разной степени принадлежит к классу объектов обладающих этим свойством, и к классу не обладающих. Неопределенность максимальна, если степени принадлежности равны. Неопределенность минимальна, когда объект принадлежит к 1 классу. Показатель размытости можно определить в виде некоторого функционала удовлетворяющий следующим условиям:

   1. 

2. 

3. 

4. 

Можно доказать, что вещественный функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление:

T_j­ – вещественнозначные функции от , такие что T_j(0)=0, T_j­(y)= T_j­(1-y), T_j­(y) – строго возрастает на интервале [0,0.5]

_­N – число элементов в множестве Х.

Примеры показателей размытости при аксиоматическом подходе:

1. Энтропия нечеткого множества:

2. 

5. Метрический

Показатель размытости нечетких множеств можно определить с помощью метрики как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества. Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества  и расстояния между нечетким множеством и его дополнением.

Множество, ближайшее к нечеткому множеству А, называется множество , такое что

Показателем размытости называется функционал

Если вместо расстояния Хэмминга использовать евклидово расстояние, то получим

Еще одним способом является нахождения расстояния между нечетким множеством и его дополнением.

Помимо рассмотренных подходов, нашли развитие так же и другие подходы.

В ряде случаев удобно использовать возможности пребывания системы в различных состояниях.

Пусть существует N состояний системы и с ними связаны вероятности пребывания системы в этих состояниях, тогда Энтропия системы определяется следующим выражением:

Если задано нечеткое множество А в виде совокупности пар

То выражение энтропии для оценки его нечеткости можно задать следующим образом:

7. Определение и свойства нечетких чисел. Декомпозиция нечеткого числа. Операции над нечеткими числами на основе интервального метода.

Нечетким числом А называется нечеткое множество, которое определено на множестве действительных чисел и функция принадлежности которого кусочно-непрерывна, при этом само нечеткое множество:

1. Нормально

2. Выпукло

Нечеткое число нормально, если

Нечеткое число А выпукло, если:

в визуальном плане это отсутствие провалов в функции принадлежности.

Интервал нечеткого числа А обозначается

В случае выпуклой функции принадлежности множество естественно описывается 2 граничными точками.

Используя понятие нечеткого числа условие выпуклости можно записать в следующем виде:

Подмножество действительных чисел, обозначаемое как называется носителем нечеткого числа, если

Нечеткое число А называется унимодальным, если существует единственное значение Х, для которого само значение х при этом называется модой числа.

В том случае, если значение функции принадлежности оказывается равным 1 на некотором интервале, то такое число называется толерантным.

Унимодальное – треугольное, трапецеидальное – толерантно.

Множество значение некоторого числа А вне зависимости от того состоит оно из одной точки или из интервала будем обозначать следующим образом:

Естественно, что

Выпуклое, нечеткое число А называется нечетким нулем, если

Нечеткое число А положительно, если

Нечеткое число А отрицательно, если

Декомпозиция нечеткого числа.

Декомпозиция нечеткого числа А – это представление данного числа в виде совокупности нечетких интервалов в виде:

, где

- значение элемента уровневого множества ,

-интервал -уровня нечеткого числа А

αА_α – нечеткий интервал -уровня нечеткого числа А

З начение функции принадлежности нечеткого интервала :

A_0.7=[2;5]

A_0.5=[1.5;5.5]

A_0.3=[1;6]

A=0.3[1;6]∪0.5[1.5;5.5]∪0.7[2;5]∪1.0[3.5;3.5]

2 нечетких числа и имеется некоторая арифметическая операция , тогда будем обозначать аналогичную операцию над нечеткими числами, результатом будет

Требования к операциям:

1. Адекватность расширенной операции семантике исходной операции.

2. Отсутствие или минимизация «накопление нечеткости», т.е. роста показателя размытости результата в ходе многократного использования расширенной операции.

3. Ограничение выхода результата за границы его базового диапазона.

4. Приемлемый уровень вычислительных затрат при используемой реализации.

5. Возможность использования в качестве операндов нечетких чисел с различным характером функции принадлежности.

6. Сохранение результатом определенных свойств операндов.

7. Наличие 0-го и обратного элементов относительно расширенных операций сложения и умножения.

8. Ассоциативность операций.

9. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Операции над нечеткими числами на основе интервального метода.

При использовании интервального метода операции над нечеткими числами рассматриваются как обобщение операций над интервалами, в качестве которых выступают все интервалы -уровней этих чисел.

Пусть даны нечеткие числа А=(a₁, a_2, a₃) и В=(b₁, b_2, b₃) и заданы соответствующие интервалы α-уровней этих нечетких чисел:

1. Сложение интервалов α-уровней нечетких чисел:

;

2. Противоположный элемент

;

3. Вычитание интервалов α-уровней нечетких чисел:

;

4. Умножение интервалов α-уровней нечетких чисел:

5. Умножение интервала α-уровня на четкое число

6. Обратный (инверсный) интервал нечеткого числа:

но это при условии

7. Операция деления интервала α-уровня нечетких чисел:

при условии 0∉Вα

Если нечеткие числа A и B определены на R⁺, то операции значительно упрощаются:

Также вводится еще две операции:

1. Минимум инт. α-ур. н. м.

1. Максимум инт. α-ур. н. м.

8. Операции над нечеткими числами на основе принципа нечеткого обобщения Л. Заде. Треугольные нечеткие числа (определение, операции). Трапецеидальные нечеткие числа (определение, операции). Нечеткие числа (L-R)-типа (определение, операции).

Операции над нечеткими числами на основе принципа нечеткого обобщения Л. Заде.

A,B,C –нечеткие числа, заданные функциями принадлежности

Тогда результат произвольной бинарной операции над неч. числами:

Вместо звездочки могут быть любые арифметические операции: +,-, ,/,min,max.

Треугольные нечеткие числа.

Треугольным нечетким числом называется нечеткое число с носителем и и с функцией принадлежности:

Особенности:

• Результаты операций сложения и вычитания треугольных нечетких чисел так же являются нечеткими треугольными числами.

• Р езультаты умножения, деления, минимума и максимума не являются треугольными нечеткими числами.

В общем виде результат сложения и вычитания над ТНЧ

Рассмотрим 2 числа:

A=(-7,3,6) B=(-5,-1,4)

A+B=[-12,2,10] A-B=[-11,4,11]

Для умножения (осуществляется на определенных α-уровнях):

Одним из условий выполнения операции деления является то, что ни одно из значений носителя числа, которое является делителем не равно 0.

A =(1,4,9)

B=(5,11,13)

Выполнение операций над треугольными числами на основе принципа нечеткого обобщения (расширения) Заде.

Если   и   — треугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число  также является треугольным и характеризуется тройкой  , где

Трапецеидальные нечеткие числа.

Т рапецеидальным нечетким числом является нечеткое число заданное параметрами с носителем и отрезком толерантности задаваемое следующей функцией принадлежности:

Интервальный метод выполнения операций над трапецеидальными нечеткими числами. Для трапецеидальных нечетких чисел справедливы все правила свойственные треугольным нечетким числам.

Выражаем, как и с треугольными числами и получаем результат:

Умножение, деление выполняется над интервалами, либо с принципом обобщения Заде, так же, как с треугольными НЧ.

Нечеткие числа (L-R)-типа, это разновидность нечетких чисел, функции принадлежности которых задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного, L(x) и R(x), удовлетворяющих следующим свойствам:

1. L (-x)=L(x), R(-x)=R(x)

2. L(0)=R(0)

С функцией принадлежности заданной следующим образом:

Здесь отрезок [a,b] – отрезок толерантности, отрезок [c,d]- носитель нечеткого числа. Так же c,d называют левым и правыми границами нечеткости. Функции L и R типа могут быть линейны, тогда это трапецеидальное, или в частном случае, треугольное нечеткое число.