4. Нечеткое объединение. Fuzzy union

Нечеткое объединение – объединение нечетких множеств, определенных на некотором множестве Х определяются двуместной функцией U:[0,1] -> [0,1], функция принадлежности которой вычисляется следующим образом.

И которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1) Ограниченность: U(0,0)=0; U(0,1)= U(1,0)= U(1,1)=1

2) Коммутативность: U(a,b)=U(b,a)

3) Монотонность: если и ,

4) Ассоциативность: U(U(a,b),c)=U(a,U(b,c))

5) U – непрерывная функция

6) Идемпотентность U(a,a)=a

Разновидности(я бы не стал писать это):

• Стандартное нечеткое объединение

• Нечеткое объединение Ягера,

Удовлетворяет свойствам 1-5 и не удовлетворяет 6.

• w=1,

• w=2,

• ,

• Алгебраическая (вероятностная) сумма

Для этой операции выполняются свойства коммутативности, ассоциативности, тождественности и законы де Моргана.

• Граничная сумма

Выполняются те же свойства, что и для алгебраической суммы.

• Драстическая (сильная) сумма

• Сумма Хамахера

• Лямбда- сумма

5. Операции для определения различия между нечеткими множествами:

Для определения степени различия между нечеткими множествами могут быть использованы операции нечеткой разности и дизъюнктивной суммы.

• Операция нечеткой разности

• Граничная (ограниченная) разность

• Дизъюнктивная сумма

• Несвязная сумма

Расстояния между нечеткими множествами.

Расстояние d называется псевдометрическим расстоянием, заданным в пространстве нечетких множеств, если оно реализует отображение

d: Х – универсальное множество, × - декартово произведение

и удовлетворяет следующим условиям:

1. 

2. - коммутативность

3. - транзитивность

4. 

расстояние

d(A,B) называется расстоянием между нечеткими множествами, если выполняется:

1. 

2. – коммутативность

3. – транзитивность

4. 

Примеры:

1. расстояния Хемминга:

Чаще используется относительное расстояние Хемминга:

A={0.3/x1; 1/x2; 0.4/x3; 0/x4}

B={0.2/x1; 0.5/x2; 1/x3; 0/x4}

d_н(A,B)=1.2

δ_н(A,B)=0.3

2. Евклидово расстояние:

Относительное Евклидово расстояние:

d_E(A,B)=0.79

δ_E(A,B)=0.4

3. Расстояние Минковского:

W=1 – Хеммингово

W=2 – Евклидово

Операции t- и s-норм над нечеткими множествами.

Триангулярной или так называемой t-нормой нечетких множеств, определенных на нечетком множестве Х, называется двуместная действительная операция (функция) типа:

отвечающая следующим свойствам:

• Ограниченность

• Монотонность

• Коммутативность

• Ассоциативность

Примером Т-нормы может быть операция:

• Стандартная операция пересечения

• Алгебраическое произведение

• Граничное произведение

• Драстическое произведение

S-нормой над нечеткими множествами, определенными на универсальном множестве Х, называется двуместная функция , удовлетворяющая следующим свойствам:

• Ограниченность

• Монотонность

• Коммутативность

• Ассоциативность

Наиболее используемыми примерами S-норм могут быть:

1. Стандартное нечеткое объединение

2. Алгебраическая (вероятностная) сумма

3. Граничная сумма

4. Драстическая сумма

Легко показать что всегда выполняется:

При этом существуют операторы, преобразующие оператор s в оператор t-норм.