1.1.3. Операции над множествами

Пусть A и B  некоторые множества. Над этими множествами могут выполняться следующие основные операции.

1. Объединение множеств

Объединением множеств A и B называется множество C, определяемое соотношением: {x | x A или x B}, т.е. в объединение двух множеств входят те и только те элементы, которые содержатся хотя бы в одном из объединяемых множеств. Для обозначения операции пересечения используется специальный символ , а объединение множеств A и B записывается как A B.

Диаграмма Венна для объединения множеств имеет вид:

A A B

A B

2. Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называется множество {x | x A и x B}, т.е. в пересечение двух множеств A и B входят только такие элементы, которые содержатся в обоих множествах. Для обозначения операции пересечения используется специальный символ , а пересечение множеств A и B записывается как A  B.

Соответствующая диаграмма Венна имеет вид:

A B

A  B

3. Разность множеств

Разностью множеств A и B называется множество:

{x | x A и x B}, т.е. в разность множеств A и B входят только те элементы A, которые не содержатся в B. Для обозначения операции разности множеств используется специальный символ \, а разность множеств A и B записывается как A \ B.

Диаграмма Венна для разности множеств A и B имеет вид:

A B

A \ B

В определенных случаях приходится рассматривать все возможные элементы или объекты, которые не содержатся в некотором множестве A. Для такой ситуации разность между Универсумом U и данным множеством A называется дополнением множества A. Дополнение A обозначается как .

4. Произведение множеств

Произведением множеств A и B называется множество {(x, y) | x A и y B}, т.е. A B состоит из всевозможных пар элементов, в которых первая компонента является элементом A, а вторая  элементом B. Для обозначения операции произведения множеств используется специальный символ , а произведение A и B обозначается как A  B.

Операцию произведения множеств можно продемонстрировать на примере произведения двух подмножеств множества вещественных чисел, представляемых отрезками на числовой оси.

B

A

Здесь множества A и B представлены отрезками числовых осей. Тогда произведение этих множеств  это множество точек плоскости, образующее прямоугольник, проекции которого на оси совпадают с отрезками, представляющими A и B.

Заметим, что если R  это множество всех вещественных чисел, то R R или R² представляет собой множество всех пар вещественных чисел. Это множество принято отождествлять с двумерной координатной плоскостью.

Аналогично, R³ обозначает множество троек вещественных чисел. Это множество отождествляется с множеством точек в трехмерном пространстве.