1.3.2. Парадоксы

Парадоксы это утверждения, которые интуитивно представляются осмысленными и указывают на конкретные свойства предметов, но не являются ни истинными, ни ложными. Широко известен пример такого предложения, называемый парадоксом лжеца.

Рассмотрим высказывание некоторого человека, который говорит о себе: "Я лжец". Для простоты будем считать, что всякий человек может быть либо лжецом, т.е. всегда лгать, либо не быть лжецом и всегда говорить правду. Поэтому мы будем понимать смысл произнесенной фразы как признание в том, что этот человек всегда лжет.

Проанализируем приведенное предложение с точки зрения его истинности. Интуиция или здравый смысл обычно не дает оснований сомневаться в наличии смысла у этого предложения. Поэтому оно должно быть либо истинно, либо ложно.

Предположим, что предложение является истинным, и построим следующую цепочку рассуждений:

1. поскольку сказанное человеком истинно, то данный человек всегда лжет;

2. так как человек всегда лжет, то он лжет и в данном случае;

3. поскольку человек лжет, то предложение "Я лжец"  ложно.

Следовательно, предложение "Я лжец" не является истинным.

Рассмотрим второй возможный случай. Предположим, что данное предложение является ложным. Тогда построим следующую цепочку рассуждений:

1. поскольку данное предложение ложно, то человек не является лжецом;

2. так как человек не лжец, то сказанное в предложении является истинным;

3. следовательно, приведенное предложение должно быть истинным, а значит, предложение "Я лжец" не является ложным.

Окончательно получаем, что интуитивно понятное и допускаемое в качестве высказывания предложение не имеет никакого истинностного значения, или не имеет смысла.

В повседневной жизни предложения, подобные парадоксу лжеца, могут возникать и применяться в разных ситуациях. Это обычно не мешает людям общаться и понимать друг друга. Однако существование в разговорной речи противоречивых утверждений требует изучения или хотя бы учета возможности логической некорректности при решении задач, в конкретных областях знаний и деятельности. Последнее замечание связано с тем, что традиционные схемы рассуждений и решения задач основаны на использовании понятия истинности исходных данных утверждений, получаемых в процессе рассуждений, и делаемых в процессе вывода заключений.

При этом, если используемые при решении задач знания или факты представляют собой парадоксы, то рассуждения, проводимые на их основе не могут считаться истинными так как некорректен истинностный смысл полученных заключений или выводов.

В частности, для парадокса лжеца попытка доказательства истинности соответствующего предложения приводит к установлению его ложности. Верно и обратное, на основе ложности предложения с помощью приведенных ранее рассуждений устанавливается его истинность.

Противоречие, аналогичное парадоксу лжеца, может содержаться и в совокупностях связанных и интуитивно осмысленных предложений.

Например, рассмотрим факты, сообщенные в качестве начальной информации двумя лицами А и В:

А: "То, что говорит В  ложно";

В: "То, что сказал А  истинно".

Подобно тому, как это было проделано для парадокса лжеца, можно убедиться, что предположение о некотором истинностном смысле любого из предложений приводит к установлению, что это предложение должно иметь противоположный истинностный смысл.

Естественный способ, позволяющий избежать использования внутренне противоречивой информации, состоит в применении ограниченных языковых средств, позволяющих формировать высказывания.

Например, в приведенных примерах речь фактически идет об утверждениях, содержащих не столько информацию об окружающем мире, сколько говорящих об истинности утверждений об этом мире (в частности, о своем истинностном значении).

К логическим парадоксам близки так называемые семантические или смысловые парадоксы, представляемые предложениями, которые интуитивно имеют смысл, но в действительности таковыми не являются.

В качестве примера рассмотрим парадокс брадобрея или парадокс парикмахера, который содержится в следующем предложении:

"В городе живет брадобрей, который бреет всех мужчин города, которые не бреются сами".

Свойство брадобрея, указанное в предложении вполне понятно пока мы не попытаемся получить ответ на вопрос о том, кто бреет самого брадобрея. Анализ данной задачи показывает, что брадобрей с одной стороны, не может брить самого себя, а с другой стороны, обязан брить самого себя.

В заключение рассмотрим пример парадокса, связанного с неточным определением множества, данным в предыдущем разделе. Для этого введем такое понятие, как множество всех множеств.

С точки зрения использованного ранее интуитивного понятия множества, множество всех множеств  это совокупность, элементами которой являются любые множества. Поэтому интуитивно эта совокупность множеств также является множеством множеств. Общее свойство элементов множества всех множеств  быть множеством.

Поэтому множество всех множеств должно являться элементом самого себя. Последнее заключение противоречиво, поскольку множество всех множеств не может быть элементом самого себя хотя бы потому, что в нем кроме него самого содержатся и другие элементы, являющиеся множествами. Следовательно, для множества всех множеств не выполняется фундаментальное свойство понятия равенства, которое состоит в равенстве всякого объекта самому себе.

Последний пример свидетельствует о некорректности интуитивного понятия множества и указывает на необходимость аккуратного применения этого понятия при проведении рассуждений, чтобы избежать противоречивых конструкций и выводов из-за использования некорректных объектов.

Тем не менее, во всех рассмотрениях настоящего курса, да и многих областей математики, интуитивное понятие множества является достаточным, поскольку используемые в этих областях примеры множеств не являются внутренне противоречивыми.

1.3.3. ПРЕДИКАТЫ

Ранее приводились примеры высказываний, являющихся уточнениями некоторого общего утверждения, не являющегося высказыванием. Такие общие утверждения носят название высказывательных форм и используются как обобщение понятия высказывания, в котором представлено несколько отдельных высказывания или групп отдельных высказываний.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высказывательной формой или предикатом называется всякое предложение, содержащее наименования неопределенных объектов или неизвестных, которое превращается в высказывание после подстановки в него конкретных объектов вместо имен неопределенных объектов.

Для обозначения неопределенных или произвольных объектов удобно использовать символы переменных. Для каждой такой переменной уточняется множество, элементы которого могут подставляться в высказывательную форму вместо переменной.

Например, к высказывательным формам относится предложение “x учится в школе с номером y“. Здесь x обозначает элементы множества всех людей, а y  элемент множества всех натуральных чисел.

Подобным образом высказывательные формы образуют предложения: “x дружит с y“ и “x имеет рост y и вес z“, “x живет в городе y“.

Для удобства будем использовать сокращенную запись высказывательных форм: сначала записывается имя свойства неопределенных объектов, входящих в форму, а затем, в скобках, в определенном порядке перечисляются имена входящих в нее переменных.

Для приведенных примеров высказывательных форм сокращенные записи имеют вид:

Учится(x, y), дружит(x, y), рост-вес(x, y, z), живет (x, y).

Рассмотрим пример высказывательной формы, которая может быть определена для высказывания:

“Занятия физкультурой дают силу студенту Иванову“.

Эта форма может быть записана в виде: Дает(x, y, z). Здесь x  обозначение объекта, дающего что-то, т.е. выполняющего действие, y  объект или предмет, который дают, а z  объект, получающий y от z.

Примерами применения этой формы являются:

Дает(логика, знания, студент I курса);

Дает(сигарета, здоровье, человек).

Здесь первый из приведенных примеров принимает истинностное значение “t“, а второй  “f“.

Пусть P  это символическое обозначение высказывательной формы (свойства), связывающей компоненты n-элементных наборов объектов, обозначаемых символами переменных x₁, ... , x_n, которые могут принимать значения из множеств A₁, ... , A_n. Тогда предикату P можно поставить в соответствие функцию, отображающую всякий набор из A₁  ...  A_п в одно из двух истинностных значений. Множество A₁  ...  A_п является областью определения соответствующего отображения.

Кроме того множество наборов значений переменных предиката, при подстановке которых вместо неопределенных объектов формы P получается истинное высказывание, образует отношение на множестве всех таких наборов.

Свойство P называется предикатом, а число входящих в него переменных  арностью или размерностью этого предиката.

В частности, высказывания представляют собой нульарные предикаты, поскольку они являются утверждениями, не содержащими переменных.

В приведенных примерах предикат Дает имеет арность 3, а предикат Дружит  арность 2. Предикаты арности 1 и 2 называются также соответственно унарными и бинарными предикатами.

Общеупотребительные арифметические сравнения могут рассматриваться как бинарные предикаты, которые соответственно можно представлять в виде:

Больше(x, у), Больше-или-равно(x, y);

Меньше(x, y), Меньше-или-равно(x, y);

Равно(x, y), Не-равно(x, y).

Примерами неарифметических предикатов являются предикаты, представляющие родственные связи между людьми.

Например, Родитель(x, y), Отец(x, y), Брат(x, y),

Родственник(x, y) и другие предикаты.

Пусть  некоторое множество наборов вида (a₁, ... , a_n), где a₁, ... , a_n  это элементы множеств A₁, ... , A_n соответственно. Поставим ему в соответствие предикат P(x₁, ... , x_n), принимающий истинностное значение “t“ только на таких наборах значений своих переменных, которые входят в .

Нетрудно увидеть, что заданное соответствие между подмножествами произведения множеств A₁, ... , A_n и предикатами с n переменными, принимающими значения из этих множеств, является взаимно однозначным. Это позволяет говорить о том, что множества наборов и предикаты позволяют представлять одни и те же свойства наборов из A₁  ...  A_n и эквиваленты.

Из нескольких разных предикатов можно строить новые предикаты с помощью специальных операций, называемых логическими связками и кванторами.

Основные логические связки  это:

КОНЪЮНКЦИЯ  обозначается как &

(эта связка называется также связкой “И”);

ДИЗЪЮНКЦИЯ  обозначается как

(называется связкой “ИЛИ”);

ИМПЛИКАЦИЯ  обозначается как

(называется связкой “СЛЕДУЕТ”);

ОТРИЦАНИЕ  обозначается как

(называется связкой “НЕ”).

Если P₁ и P₂  два произвольных предиката, то P₁ & P₂ задает новый предикат, переменными которого являются все различные переменные предикатов P₁ и P₂, а истинностные значения определяются по правилу: P₁ & P₂ принимает значение “t” на тех и только тех наборах значений своих переменных, на которых предикаты P₁ и P₂ являются истинными.

С помощью дизъюнкции образуется предикат, обозначаемый P ₁ P ₂, принимающий значение “t” на тех и только тех наборах значений переменных, на которых хотя бы один из предикатов P₁ и P₂ принимает значение “t”. Соответственно предикат P₁ P₂ принимает значение “t“ всегда за исключением случая, когда P₁ истинен, а P₂ ложен.

Наконец, отрицание  это операция, применяемая к произвольному предикату P, которая имеет результатом новый предикат P, истинный только тогда, когда P ложен.

Истинностные значения результата применения логических связок к предикатам можно представить с помощью следующих истинностных таблиц, в которых указывается истинностное значение результата применения логических связок для всех комбинаций возможных истинностных значений предикатов, к которым применяются такие связки.

P		P
f		t
t		f
P1	P2		P1 & P2		P1 P2	P1 P2
f	f		f		f	t
f	t		f		t	t
t	f		f		t	f
t	t		t		t	t

В двух левых столбцах второй таблицы заданы различные комбинации истинностных значений P₁ и P₂, а в последующих столбцах указаны соответствующие значения для результата применения связки.

Приведенные таблицы отражают естественное понимание смысла наименования действий, задаваемых логическими связками. Некоторого комментария требует таблица истинности для связки импликации.

Содержательно запись P₁ P₂ понимается как: “Из P₁ следует P₂“, что понимается как указание на логическое следование свойства, представляемого предикатом P₂, из свойства, представляемого P₁. При этом результат импликации - истинный только тогда, когда истинное значение P₂ “не хуже“ истинного значения P₁. В частности, истинным является следование любого свойства из ложного свойства.

Кроме логических связок к предикатам применяются еще две специальные операции, называемые кванторами существования и всеобщности, которые обозначаются символами и .