1.2.2. Произведение отображений
Пусть f: A B и g: B C. Тогда отображение h: A C, для которого h(a) = c тогда и только тогда, когда из того что
f(a)
= b
следует, что g(b)
= c,
называется произведением или композицией
этих отображений. Произведение отображений
f и g
записывается в виде h
=
.
Содержательно отображение h получается последовательным применением отображений f и g. Наглядное представление произведения отображений приведено на рис. 1.3.
A B
C
h
a f b g c
Рис. 1.3
Упражнение. Доказать, что произведение
отображений обладает свойством
ассоциативности, т.е. для любых отображений
f, g,
h, для
которых определено произведение
,
справедливо равенство:
.
Обобщением операции композиции отображений является операция суперпозиции. Такая операция применяется тогда, когда области определений представляют собой произведения систем множеств или части таких произведений. Суперпозиция отображений связана с подстановкой вместо отдельных компонент наборов элементов из области определения заданной функции других функций, области значений которых содержатся во множествах значений заменяемых компонент.
Пусть f: A B и A = A1 ... An. Для работы с компонентами элементов области определения такой функции используют представление f в виде f(x1, ... , xn). В этой записи символы переменных x1, ... , xn обозначают компоненты элементов множества A.
Пусть i это некоторое число из множества {1, ... , k}, и задана еще одна функция: g: D1 ... Dk Ai, представляемая в виде g(v1, ... , vk). Обозначим как {w1, ... , wm} множество из всех переменных f, за исключением xi и всех переменных g.
Тогда суперпозицией f и g, в которой функция g(v1, ... , vk) подставляется в f вместо xi, называется такое отображение h(w1, ... , wm), когда для каждого набора (1, ... , m) значений переменных w1, ... , wm выполнено соотношение
h(1, ... , m)= f (1, ... i 1, , i + 1 , …, n).
В последнем соотношении 1, ... i1, i+1 , …, n это значения переменных x1, ... xi1, xi+1, …, xn в наборе (1, ... , m), а = g(1, ... , k), где 1, ... , k значения v1, ... , vk, выбираемые из того же набора.
Для обозначения суперпозиции функций f и g применяется специальная запись f(x1, ... xi1, g(v1, ... , vk), xi+1, …, xn).
Если к некоторой функции f операция суперпозиции применяется несколько раз по различным переменным, то получаемое в результате отображение называется суперпозицией f и отображений, подставляемых вместо переменных f.
Если все переменные отображения f(x1, ... , xn) заменяются на g1(v1,1, ... , v1,k1), ... , gn(vn,1, ... , vn,kn) соответственно, то такая суперпозиция представляется записью:
f(g1(v1,1, ... , v1,k1),., ... , gn(vn,1, ... , vn,kn).
1.3. Логика доказуемости и истинности
1.3.1. Высказывания
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высказыванием называется всякое предложение, о котором можно сказать, что оно является истинным или ложным.
Истинностные значения высказываний “истина“ и “ложь“ сокращенно будем записывать с помощью символов “t“ и “f“.
Например, предложение “Новороссийск приморский город“ образует высказывание, которое является истинным и принимает истинностное значение “t“.
Утверждение “Солнце восходит на западе“ образует ложное высказывание, истинностное значение его равно “f“.
Некоторые предложения не принимают никакого конкретного истинностного значения и не являются высказываниями. Например, предложение “В январе дни короче, чем в июне“ не может быть истинным или ложным, так как для северного полушария оно истинно, а для южного ложно. Приведенное предложение можно рассматривать как неточное или неправильное, которое можно уточнить так, чтобы получить высказывание. Например, “В январе в северном полушарии дни короче, чем в июне“ это истинное высказывание, а “В январе в Аргентине дни короче, чем в июне“ ложное высказывание.
Содержательно высказывание указывает на наличие свойства предмета или предметов, о котором говорится в соответствующем предложении. В первом примере говорится о свойстве объекта (города Новороссийск) располагаться в определенном месте (являться приморским городом). Об аналогичном свойстве идет речь и в другом высказывании: “Одесса - приморский город“. В обоих случаях высказывания являются конкретизациями одной и той же конструкции, различаются только именем объекта населенного пункта. На основе этой и других подобных конструкции можно строить многочисленные примеры высказываний.