Задача минимизации издержек

Для задачи минимизации издержек функция Лагранжа имеет вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,₁)=q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n+₁*(y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)), (6-11)

где q₁,q₂,…,q_n – цены соответственно ресурсов x₁,x₂,…,x_n

f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀

x₁>=0, x₂>=0, …, x_n>=0

Далее получаем систему уравнений:

F / x_j=q_j-₁* f/ x_j=0, j=1,2,…,n (6-12)

F / ₁=y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)=0 или

f / x_j=1/₁*q_j, j=1,2,…,n; f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀ (6-13)

В точке минимума получим:

Предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам (коэффициент пропорциональности равен 1/^*₁), т.е.:

f / x_j=(1/^*₁)*q_j; j=1,2,…,n; (6-14)

отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.:

(f / x_j):( f/ x_i)=q_j/q_i; j,i=1,2,…,n; ji; (6-15)

отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.:

(f / x_j):q_j=1/^*₁, j=1,2,…,n (6-16)

Полученные соотношения составляют основу теории предельной производительности факторов производства как теории стоимости, а именно: цены ресурсов пропорциональны предельным производительностям ресурсов, в частности для труда имеем, что он оценивается в соответствии со своей предельной производительностью.

Дадим интерпретацию множителя Лагранжа. Имеем:

dZ=q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n .

В точке минимума q_j=(^*₁)*( f / x_j), j=1,2,…,n, следовательно,

dZ=^*₁(( f / x₁)*dx₁+( f / x₂)*dx₂+…+( f /x_n)*dx_n)=(^*₁)*dy. (6-17)

Отсюда:

^*₁=dZ/dy, (6-18)

т.е. ^*₁ есть общие предельные издержки на единицу дополнительной продукции.

Рассмотрим некоторые типы функций затрат ресурсов и издержек.

Пусть задана линейная неоднородная функция затрат ресурсов

x_j=_j*y+b_j, j=1,2,…,n, _j>0, b_j>0, j=1,2,…,n.

Тогда функция издержек имеет вид:

C(y)=a*y+b,

где a=q_j*_j, b=q_j*b_j.

Если задана нелинейная функция затрат ресурсов x_j=_j(y), j=1,2,…,n, то

C(y)=q_j*_j(y).

Задача максимизации объема выпуска продукции

Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов. Математически она формулируется следующим образом:

Y=f(x₁,x₂,…,x_n)max (6-19)

при условиях

q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n=C, (6-20)

x₁>=0, x₂>=0,…,x_n>=0 (6-21)

Геометрически это означает, что нужно найти изокванту производственной функции y=f(x₁,x₂), которая касалась бы заданной изокосты q₁*x₁+q₂*x₂=C.

Для каждой изокванты характерны следующие свойства:

• изокванта, лежащая выше и правее другой, соответствует большему количеству произведенной продукции;

• изокванты не пересекаются;

• в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. они обращены выпуклостью к началу координат.

Рассмотрим некоторые производственные функции, которые часто используются при анализе поведения производителя:

• Линейная производственная функция имеет вид:

y=a₁*x₁+a₂*x₂+…+a_n*x_n,

для которой а₁>0, a₂>0,…, a_n>0, т.е. предполагается линейная зависимость выпуска продукции от затрат факторов производства;

• Производственнная функция с постоянными параметрами. Такая функция задается соотношением:

y=min(x₁/a₁,x₂/a₂,…,x_n/a_n), где a₁>0, a₂>0,…, a_n>0 ;

• Производственная функция Кобба-Дугласа. Фyнкция имеет вид y=A_*x₁^1_*x₂^2_*…_*x_n^n, где A>0, 0<_j<1, j=1,2,…,n (именно этот тип производственных функций будет рассмотрен в качестве примера в моей курсовой) ;

• Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES). Такая функция имеет вид:

y=A*(B₁*x₁^-p+…+B_n*x_n^-p)^-/p, для которой A>0, 0<B_j<1, j=1,2,…,n. .

Задачу максимизации объема выпуска продукции будем решать также методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа данной задачи будет иметь вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,₂)=f(x₁,x₂,…,x_n)+₂*(C-q_i*x_i).

Условиями оптимальности будут:

F / x_j= f / x_j-₂*q_j=0, j=1,2,…,n;

F / ₂=C-q_i*x_i=0

или

f / x_j=₂*q_j, j=1,2,…,n; q_i*x_i=C (6-22)

В точке максимума х^* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек, а именно:

• предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам с коэффициентом пропорциональности ^*₂, т.е.:

f / x_j=(^*₂)*q_j, j=1,2,…,n;

• отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.

( f / x_j): (f / x_i)=q_j:q_i; j,i=1,2,…,n, ji;

• отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.

(f / x_j)=^*₂, j=1,2,…,n .

Определим экономический смысл множителя ^*₂. Полный дифференциал производственной функции будет:

dy=( f / x₁)*dx₁+(  f / x₂)*dx₂+…+( f / x_n)*dx_n. (6-23)

Так как в точке максимума х^* имеет место соотношение:

f / x_j=(^*₂)*q_j (j=1,2,…,n), то

dy=(^*₂)*(q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n)=(^*₂)*dZ=(^*₂)*dC. (6-24)

Отсюда получаем dy/dZ=dy/dC=^*₂. (6-25)

Таким образом, ^*₂ выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов.

Таким образом, можно заключить, что ^*₁ и ^*₂ для рассматриваемых задач по смыслу взаимообратные. Поэтому указанные две задачи называют взаимными задачами для производителя.

Если в качестве С в задаче максимизации выпуска продукции взять Z^*=Z_min, полученный в задаче минимизации издержек при у=у₀, то максимальный объем выпуска продукции у^*=у₀, ^*₂=1/^*₁, а точки оптимума совпадают.