Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]
.pdf(Ответ: 37,5 минут)
2)Пуля вылетает из ствола в горизонтальном направлении со скоростью
V1 = 15 м с . На сколько снизится пуля во время полета, если щит с мишенью находится на расстоянии 400 м?
Указание: при решении рассмотрите движение тела аналогично пред-
ставленному на рис. 2 (участок х1хmax )
(Ответ: 1,25 м)
3)Тело прошло первую половину пути со скоростью V1 = 6 м с , а вторую половину – V2 = 4 м с . Какова средняя скорость движения?
Указание: Vcp = S t
(Ответ: 4,8 м/с)
1.2.Динамика. Статика
1.2.1.Общие рекомендации
При решении задач по динамике к тем физическим понятиям, которые
используются в кинематике, добавляются понятия массы как меры инертно-
сти, силы, импульса силы и импульса тела(количества движения). Взаимо-
связь между силой, действующей не тело, его массой и ускорением, которое тело приобретает под действием силы, описывается вторым законом Ньюто-
r |
r |
r |
r |
r |
||||||
на: F = m a или |
Ft = D mV = D p , где F – сила, m – масса, p – импульс; |
|||||||||
символ |
обозначает изменение(разность). Изменения находят, вычитая из |
|||||||||
нового |
значения |
величины |
предшествующее, например: a = |
V2 -V1 |
= |
DV |
; |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 - t1 D t |
|||
если t1 |
= t0 = 0 – начало отсчета, то часто записывают a = |
DV |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
11
Если на тело действует несколько(n) сил, то чтобы найти ускорение
тела, сначала находят их равнодействующую, для чего составляют динамиче-
r |
r r |
r |
r |
ское уравнение: ma |
= F1 + F2 +K+ Fn = åFi , где i = 1, 2, … n. |
||
Следует обращать внимание на то, что можно суммировать только си- |
|||
лы, приложенные к одному телу. |
|
|
|
В задачах по |
статике рассматриваются условия равновесия(непод- |
||
вижности) тел, имеющих ось вращения, под действием сил. При этом |
|||
|
r |
r |
r |
|
F1 + F2 +K+ Fn = 0 |
Суммы проекций сил на координатные оси равны нулю, суммарный момент также равен нулю:
ìåFxi = 0 ïïåFyi = 0 íïåFzi = 0 ïîå Mi = 0
Здесь Mi = Fi × li , где M i – момент i – той силы, действующей на тело; li –
плечо этой силы. Обычно момент, вращающей тело по часовой стрелке, счи-
тается положительным, а против – отрицательным. Плечо силы – кратчайшее по перпендикуляру расстояние от оси вращения до линии действия силы.
1.2.2. Прямолинейное движение тела под действием нескольких сил
В качестве типичной динамической задачи рассмотрим тело на
наклонной плоскости (рис.3).
Пусть имеется наклонная плоскость высотойh с углом α, на которой
r
находится тело массой m. На него действуют: сила тяжести mg , направлен-
r
ная вертикально вниз; сила реакции опоры N, направленная вверх перпенди-
r
кулярно наклонной плоскости; сила трения Fтр , направленная в сторону,
противоположную реальному или предполагаемому движению.
12
Рис 3. К решению задач о теле на наклонной плоскости
Поскольку силы N и mg направлены под углом друг к другу, возника-
ет равнодействующая сила F . Ее можно определить так же как и проекцию
r
силы mg на ось х: F = mg sina .
r
Показанная пунктиром сила Р – вес тела – сила, с которой оно давит на опору; эта сила приложена не к нему, а к плоскости. По третьему закону Ньютона она равна по модулю и противоположна по направлению силе -ре
rr r
акции опоры: Р =-N, N = mg cosa .
Сила трения Fтр = mN = mg cosa , где μ – коэффициент трения сколь-
жения.
rr
Если F = -Fтр , т.е. mg sina = mmg cosa , то выполняется условие по-
коя или равномерного движения (а = 0) вниз по наклонной плоскости. Из это-
го условия легко найти m = tga .
Для решения задач, связанных с анализом движения(или покоя) тела
на наклонной плоскости, обычно записывается динамическое уравнение в
векторном виде: |
r |
|
r |
r |
r |
||
ma |
= N + mg |
+ Fтр , |
затем записывают уравнение в скалярной форме с учетом знаков проекций сил на ось ох:
ma = F - Fтр ,
13
если тело покоится или движется вниз, или
ma = F + Fтр ,
если тело движется вверх.
Если же на тело действуют еще и другие силы, то их вводят в динами-
ческое уравнение.
Пример 1.4.
Груз массой m = 100 кг поднимают по наклонной плоскости с углом
α = 60° с ускорением а = 0,5 м/с2. С какой силой F1,2, направленной вдоль на-
клонной плоскости, действуют на груз,
1) если коэффициент трения μ = tgα = |
3 |
? |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) если движение происходит по гладкой наклонной плоскости μ = 0? |
||||||||||||||||||||||
Дано: |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = 60 ° |
|
r |
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) ma |
= N + mg |
+ Fтр + F1 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
m = 100 кг |
|
|
|
|
|
|
|
ma = F1 - F - Fтр ; |
||||||||||||||
a = 0,5 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
F1 = ma + mg sina + m1mg cosa = m(a + g sina + m1g cosa ); |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
с 2 |
||||||||||||||||||
g = 10 |
м |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
с |
F = 100×ç |
0,5 + 0,5×10 + |
|
|
|
|
×10 × |
|
|
|
÷ = 1050 (Н). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
ç |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||||
m1 = |
|
3 |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2) ma |
= N + mg |
+ F ; |
ma = F - F ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
m2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 = ma + mg sina = m(a + g sina ); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 = 100 × (0,5 + 0,5×10)= 550 (Н). |
|||||||||||
F1 – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F2 – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то на тело воздействуют с силой F = 1050 (Н); на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Ответ: если m = |
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гладкой поверхности – с силой F2 = 550 (Н).
14
Пример 1.5.
Санки съезжают с ледяной горки высотой h = 5 м с углом α = 30° и ко-
эффициентом трения m = 0,1. Какую скорость санки приобретут в конце спуска?
Дано: |
Решение: |
r |
|
r |
|
|
|
||
a = 30 ° |
r |
r |
|
|
|
||||
ma |
= N + mg |
+ Fтр |
|
|
|
||||
h = 5 м |
ma = mg sina - m mg cosa = mg(sina - m cosa ) |
||||||||
V |
= 0 м |
Отсюда a = g(sina - m cosa ) = 4,1 м с 2 |
|
(1) |
|||||
0 |
с |
|
|||||||
m |
= 0,1 |
Из формул кинематики для равноускоренного движения: |
|||||||
|
|
||||||||
|
V = V0 + at = at |
|
|
|
|||||
V –? |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x = |
at 2 |
||
Время спуска t найдем из соотношения уравнения движения |
|||||||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(начало координат разместим на вершине горки; длина спуска х;
так как α = 30°, то х = 2 h).
|
at |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда 2h = |
; |
t = |
4h |
= 2 |
|
h |
(2) |
|||||||||
2 |
a |
|
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставим (1) и (2) в выражение для скорости: V = a × 2 |
h |
|
= 2 |
|
|
|||||||||||
|
ah |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
V = 24,1× 5 = 9,06 мc » 9 м с
Ответ: в конце спуска санки приобретут скорость » 9 м с .
Пример 1.6.
Кконцам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы m1 = 75 г
иm2 =50 г. Пренебрегая трением и считая нить невесомой и нерастяжимой,
определить ускорения, с которыми движутся грузы.
Для решения задачи изобразим чертеж(рис.4) и обозначим на нем си-
лы, действующие на грузы.
15
На каждый груз действуют две силы: тяжести и натяжения нити. Для
r |
r |
. Поскольку нить нерас- |
первого груза это m1 g |
и T1 , для второго – m2 g и T2 |
|
v |
|
|
тяжима T1 = T2 = T и ускорения грузов одинаково по модулю.
Составим динамические уравнения для каждого тела и перейдем к скалярной
форме записи |
|
|
r |
r |
r |
ìm a |
= m g + T |
|
í 1 r |
1 r |
r . |
îm2a |
= m2 g |
+ T |
В подобных задачах удобно считать положительными силы, на на-
правление действия которых совпадают с направлением движения тел:
ìím1a = m1g -T îm2a = -m2 g + T
Сложив уравнения системы, получим a(m1 + m2 ) = g(m1 - m2 ).
Отсюда a = g |
m1 |
- m2 |
. |
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||
|
+ m2 |
|
|
|
|||
Подставим числовые значения и найдем: a = 10 × |
75 |
- 50 |
|
= 2 м |
|||
|
+ 75 |
||||||
|
|
50 |
с 2 |
Рис. 4 К примеру 1.6.
16
Если это предусмотрено условием задачи, то можно найти и силу натяжения
нити:
T = m1a - m1g или T = m2a + m2 g .
Подставив значение а в любое из этих уравнений, найдем :
T = 0,075(10 - 2)= 0,6 Н или T = 0,05(2 +10)= 0,6 Н
1.2.3.Задачи на действие отдельных видов сил
Отдельную группу образуют задачи на применение формул, описы-
вающих описывающие отдельные виды сил: гравитационной, упругости,
трения.
Следует заметить, что по определению гравитационная сила приложена к центрам масс взаимодействующих тел.
Пример 1.7.
Ракета поднялась на высоту h, равную радиусу Земли. Требуется найти отношение сил тяготения, действующих на ракету на поверхности Земли F0 и
на этой высоте F1.
Воспользуемся выражением для гравитационной силы:
F = G m1m2 ,
R2
Записывая эго для R1=R3 и R2=R3+h = 2R3, получим F0 = 4 .
F1
Пример 1.8.
Какую силу нужно приложить в горизонтальном направлению к телу массой m = 5 кг , лежащему на горизонтальной поверхности с коэффициен-
том трения μ = 0,2, что бы оно начало двигаться?
r |
r |
r |
N |
N = mg |
N = -mg
т.к. поверхность горизонтальна
mg
17
Искомая сила должна быть больше силы трения покоя, действующей
на тело: F ñ Fтр ; Fтр = m m g . Следовательно, сила должна превышать 10 Н,
так как Fтр » 0,2·5·10=10 Н.
Пример 1.9.
Какой должна быть сила тягиFт, развиваемая автомобилем, что бы он
мог двигаться с ускорением a = 5 м |
с 2 |
по горизонтальному шоссе, если сред- |
|
|
няя сила сопротивления движению Fс = 0,1 m g ?
Динамическое уравнение в этом случае имеет вид :
r |
r |
r |
ma = Fт - 0,1m g |
ma |
= Fт + Fс . В скалярном виде |
||
т.е. F = m(a - 0,1 g ); F » 2 ×103 |
(5 -1) = 8 кН. |
||
|
т |
т |
|
Пример 1.10.
Требуется оценить жесткость пружины, если под действием известной силы (F = 1 кН) она растянулась на х = 10 см.
Пользуясь соотношением F = kx , получаем k = 104 Н/м
К этой группе задач на гидростатику относятся задачи на условия пла-
вания тел и другие случаи применения закона Архимеда, а также на расчет давления.
Пример 1.11.
При погружении тела в жидкость его вес уменьшился 3в раза. Плот-
ность жидкости ρ1 = 800 кг/м3. Какова плотность тела?
Дано: |
|
Решение: |
|
ρ1 |
= 800 кг/м3 |
По третьему закону Ньютона он равен по модулю силе ре- |
|
Р1 |
= 3 |
Р2 |
акции опоры и направлен в противоположную сторону. Вес |
|
|
тела – это сила, действующая на опору, а не на тело. |
|
ρ2 – ? |
|
||
|
|
|
|
18
На воздухе выталкивающая сила мала, так что Р1 = mg, где m – масса
тела; она равна ρ2gV. |
|
|
|
|
|
|
|
В жидкости действует Fарх = r1 gV ; |
|
|
|
|
|||
Из условия задачи: Р1 = 3 Р2; Р2 = Р1 - Fарх. |
|
|
|
|
|||
Отсюда: Р1 = |
r2 gV |
, т.е. |
r2 = 3 и r |
2 |
= 3 r |
1 |
= 1200 кг |
Р2 |
r2 gV - r1 gV |
|
r2 - r1 |
2 |
м3 |
Пример 1.12.
Плотность льда 900 кг/м3, а плотность воды1000 кг/м3. Какую наи-
меньшую площадь имеет льдина полщиной40 см, способная удержать над водой человека массой 80 кг?
Дано: |
Решение: |
|
ρ1 |
= 900 кг/м3 |
Считаем, что льдина полностью погружена в воду и запи- |
ρ2 |
= 1000 кг/м3 |
сываем условия плавания: |
h = 40 см = 0,4 м |
F = F1 + F2 , |
|
m1 = 80 кг |
где F1 и F2 – силы тяжести, действующие на человека и на |
|
|
|
|
S – ? |
льдину соответственно: |
|
|
|
|
F1 = mg; |
|
F2 = r21 gV ; |
|||||
Сила Архимеда Fарх = r1 gV . |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: r2 gV = m1g + r1gV или |
|
r2V = m1 + r1V |
|||||
Так как V = S × h , то S = |
|
m1 |
|
|
|
= 2 м2 |
|
h(r |
|
|
) |
||||
|
2 |
- r |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ответ: площадь льдины не менее 2 м2.
Пример 1.13.
Аквариум наполнен наполовину водой. С какой силой давит вода на стенку длиной 50 см и высотой 40 см?
19
Дано: |
Решение: |
||
l = 0,5 м |
Сила давления определяется из соотношения F=P·S, |
||
2 h = 0,4 м |
где P – давление, S - площадь поверхности; |
||
ρ = 1000 кг/м3 |
S = 2h × l |
||
|
Давление на стенку сосуда рассчитывается по формуле: |
||
F -? |
|||
|
P = r g |
h |
, |
|
|||
|
|
||
|
2 |
|
где r – плотность, а h – высота столба жидкости.
Таким образом, сила давления воды на стенку F = r g h × (2h × l )= 1000 H.
2
Решите самостоятельно.
4)Вес куска железа в водеР = 1,67 Н. Найти его объем, если плотность железа ρ = 7800 кг/м3. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.
(Ответ: 25 см3)
1.2.4. Анализ условий равновесия тел под действием сил.
Рассмотрим типичную задачу по статике.
Каким должно быть длинное плечо рычага, чтобы получить пятикрат-
ный выигрыш в силе при подъеме груза массой1000 кг, если короткое плечо равно 0,25 м? С какой силой следует действовать на рычаг?
Рис. 5 К рассмотрению задачи на применение правила рычага
К рычагу приложены вес груза P = mg, сила F = 1/5 P, с которой на не-
го действует человек, и сила реакции опоры N = mg + F .
20