Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]
.pdfr p
r
p1 = mV
r |
r |
p2 |
= mV |
Вектор суммарного импульса строится как диагональ квадрата, так что его модуль равен p = mV 2 .
Пример 1.24.
Тело, подвешенное на нити длиной0,2 м, отводят вверх на 90 ° и от-
пускают. Какую скорость приобретет оно в низшей точке и выдержит ли
нить, если она рассчитана на максимальное натяжениеTmax = 20H , масса тела 1 кг?
Когда тело отводят вверх на высоту равную, оно приобретает потенци-
альную энергию Wп = mgl относительно исходного положения. Когда его
отпускают, оно движется по окружности радиусаl, приобретая максималь-
ную скорость V в низшей точке. Исходя из закона сохранения энергии,
mgl = |
mV 2 |
или V = |
|
= 2 м |
. |
|
|
|
2gl |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
В низшей точке траектории(см. рис. 8а и пояснения к примеру1.17 |
||||||||
раздела 1.3) на тело действуют центростремительная силаF |
= |
mV 2 |
, так |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
ц |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как радиус окружности равен длине подвеса.
Сила натяжения нити определяется из выражения
Т = mg + |
mV 2 |
æ |
|
4 |
ö |
= 30H . |
|
|
= 1ç10 |
+ |
|
÷ |
|||
l |
0,2 |
||||||
|
è |
|
ø |
|
Полученный результат свидетельствует, что отпущенное тело в нижней точке приобретает скорость 2 м/с, а нить оборвется, так как она рассчитана на меньшее натяжение.
31
Пример 1.25.
Какую работу нужно совершить, чтобы поднять со дна колодца глуби-
ной 10 м ведро массой 15 кг, висящего на цепи, каждый метр которой весит
Р1= 20 Н?
Работа совершается против силы тяжести. Не важно, пользуемся ли мы воротом, или просто вытягиваем цепь, работа будет одинаковой: по «золо-
тому правилу механики» ни один простой механизм (блок, ворот, рычаг) не
дает выигрыша в работе. Выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии,
так что A = FS cosa = const .
Вытаскивая ведро, нужно совершить работу A1 = mgh (cosa = 1).
Вытягивая цепь, масса которой равномерно распределена по длине
(центр тяжести находится на уровне посредине цепи), нужно совершить ра-
боту A |
= P × n × |
h |
, так как вес всей цепи равен P = P × n , |
|
|||
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
где n – число метров (безразмерная величина).
A1 = 15×10 ×10 = 1500 Дж
A2 = 20 ×10 ×5 = 1000 Дж
Суммарная работа составляет 2500 Дж или 2,5 кДж.
Пример 1.26.
Работа, совершаемая в примере 6, выполнена за 25 с. Какая мощность была при этом развита?
Мощность P = A = 2500 = 100 Вт . t 25
Пример 1.27.
Пуля, массой m = 10 г, двигавшаяся со скоростью V = 400 м/с, попадает в деревянный брусок массойМ = 10 кг и застревает в нем. Какую скорость приобретает брусок с пулей?
До взаимодействия импульс бруска был равен нулю, а импульс пули p1 = mv . После неупругого соударения импульс p2 = (m + M )×U .
По закону сохранения импульса p1 = p2 или mv = (m + M )×U . Отсюда
32
U = |
mv |
= |
0,01× 400 |
@ 0,4 |
м |
. |
m + M |
|
|
||||
|
10,01 |
|
с |
Таким образом, брусок с пулей будут двигаться в ту же сторону, что и пуля с незначительной скоростью.
Пример 1.28.
Какое расстояние сможет пройти брусок(см. пример 1.27) по горизон-
тальной поверхности с коэффициентом трения μ = 0,1?
Обозначим это расстояние Smax. При движении брусок расходует при-
обретенную им кинетическую энергиюW = (m + M )×U 2 на преодоление
к |
2 |
|
силы трения Fтр = m(m + M )g , до тех пор, пока его скорость не станет рав-
ной нулю. По закону сохранения энергии A = Fтр × Smax = Wк .
Отсюда Smax = U 2 , т.е. брусок сдвинется на 8 см. 2mg
Решите самостоятельно.
9) Чему равно изменение импульса молекулы массойm, двигавшейся со скоростью v после перпендикулярного абсолютно упругого взаимодейст-
вия со стенкой сосуда?
(Ответ: -2 mv)
10) Человек массой m = 70 кг, бегущий со скоростью V1 = 5 м/с, заска-
кивает в отходящий от остановки трамвай массой M = 15 т, набравший к это-
му моменту V2 = 0,5 м/с. Какую дополнительную скорость приобретет трам-
вай?
(Ответ: 0,02 м/с)
11) C какой скоростью и в какую сторону будут двигаться два тела массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг, двигавшиеся навстречу друг другу со скоро-
стью V1 = 2 м/с и V2 = 3 м/с после неупругого удара?
(Ответ: остановятся)
33
1.5.Колебания и волны
1.5.1.Механические колебания
Основными понятиями этого раздела механики являются частотаν и
|
æ |
|
1 |
ö |
|
||
период колебаний Т |
çn |
= |
|
|
, Гц÷ |
, а также циклическая (круговая) частота |
|
Т |
|||||||
|
è |
|
ø |
|
ω = 2p ×n = 2p , амплитуда, отклонение (смещение тела) от положения равно-
T
весия в заданный момент времени, длина волны, скорость ее распростране-
ния.
Обычно рассматриваются гармонические колебания, при которых из-
менение смещения со временем описываются законами синуса или косинуса.
Пример 1.29.
Требуется определить смещение тела, совершающего синусоидальные
колебания с амплитудой 8 см и начальной фазой |
p |
через |
1 |
периода после |
|
8 |
|||
4 |
|
|
||
начала колебаний. |
|
|
Обозначим текущее значение смещения х, амплитуду А, начальную фа-
зу φ0 и запишем уравнение колебания x = A sin(w t +j0 ) для условий задачи:
æ 2p |
|
T |
|
p |
ö |
= 0,08 sin |
p |
|
см . |
||||
x = 0,08 sinç |
|
× |
|
|
+ |
|
|
÷ |
|
= 8 |
|||
T |
8 |
4 |
2 |
||||||||||
è |
|
|
ø |
|
|
|
Пример 1.30.
Для условий предыдущей задачи нужно найти максимальные скорости и ускорение тела, совершающего колебания.
Выражения для изменения скорости и ускорения записываются в виде:
|
V = Vmax cos(w t + j0 ); |
Vmax = Aw . |
|||||
a = amax sin(w t + j0 ); |
|
|
amax = Aw 2. |
||||
Отсюда Vmax = A |
2p |
= 0,08 |
2 × 3,14 |
» 0,5 |
м |
, |
|
T |
|
|
|
||||
|
1 |
|
с |
|
34
æ |
2p ö |
2 |
м |
|
||
amax = Aç |
|
÷ |
= 0,08 × 6,282 » 3,2 |
|
. |
|
T |
с 2 |
|||||
è |
ø |
|
|
Если |
|
проанализировать |
движение |
математическогомаятника |
||||||
|
|
|
|
|
и пружинного маятника (T = 2p |
|
|
|
, k– |
|
(T = 2p |
l |
|
, где l – длина подвеса) |
|
m |
|
||||
g |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
жесткость пружины, m –масса колеблющегося тела) то увидим, что скорость максимальна в момент прохождения телом положения равновесия. В этот момент возвращающая сила и ускорения равны нулю.
В положении максимального отклонения наоборот: скорость равна ну-
лю, а сила и ускорения максимальна.
Чтобы найти максимальную силу, применим II закон Ньютона:
Fmax = mamax = mAw 2 ;
в процессе движения сила изменяется периодически:
F = Fmax cos(w t + j0 ) = mAw 2 cos(w t +j0 )
Кроме приведенных основных соотношений, при решении задач на ме-
ханические колебания часто требуется определить энергию тела. Для полной
энергии используются выражение W = |
kA2 |
или W |
= |
mw2 A2 |
в каждый |
||||||
|
|
|
|
||||||||
п |
2 |
|
|
|
п |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
момент колебания можно записать W = W +W |
р |
= |
mV 2 |
+ |
kx2 |
. |
|
||||
|
|
|
|||||||||
п |
к |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.31.
Для условий примеров 1.29 и 1.30 и массы тела m = 0,1 кг нужно найти силу, действующую на тело в момент времениТ/4 и его кинетическую энер-
гию в этот момент и полную энергию.
35
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А = 0,08 см |
|
|
|
|
F = mAw2 cos(w t + j0 ); |
|
|||||||||||||||||||||
Т = 1 с |
|
|
|
|
æ |
|
2p ö2 |
|
|
æ 2p |
|
T |
|
|
p ö |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
t = |
T |
|
F = 0,1× 0,08 × ç |
|
÷ |
|
|
cosç |
|
|
× |
|
|
+ |
|
|
÷ |
» 0,11 Н. |
|||||||||
|
|
|
|
T |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
è |
|
1 ø |
|
è |
|
|
|
|
4 ø |
|
||||||||||
j0 |
= |
p |
|
|
|
mV 2 |
|
é |
|
|
æ 2p |
öù2 |
|
|
|
|
2 3p |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
Wк = |
2 |
|
= 0,1× ê0,08 |
× |
ç |
|
|
÷ú |
× sin |
|
|
4 |
» 0,006 Дж. |
|||||||||||
m = 0,1 кг |
|
|
|
ë |
|
|
è t |
øû |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
mw2 А2 |
|
(2p )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
F -? |
W = |
= 0,1× |
|
× 0,082 » 0,012 Дж. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Wк-? |
п |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Wп-? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решите самостоятельно.
12). Тело массой m = 0,5 кг совершает гармонические колебания по за-
кону x = 4 sinpt . Какова его максимальная скорость? Какова жесткость пру-
жины, если это пружинный маятник? Какова длина подвеса, если это матема-
тический маятник?
Указание: используйте формулы для периода колебаний.
(Ответ: 12,56 м/с; 4 м; 5 Н/м) 13). Во сколько раз изменится период колебаний математического ма-
ятника, если принести его с Земли на Луну.
Указание: см. Пример 1.19. в разделе 1.3.
(Ответ: увеличится в 2,4 раза)
1.4.2.Волны
Примером механических волн (волн упругих колебаний среды) служит
звук. При распространении волн в среде происходит распространение энер-
гии Ии передача колебаний от одной точки пространства к другой. Волны описываются с помощью следующих характеристик: длина волны λ, период
Т и скорость распространения в среде v (рис. 9).
36
Длина волны – расстояние между точками, колеблющимися в одинако-
вой фазе – может быть записана также в виде l = v 2wp , где ω – круговая час-
тота колебаний вдоль оси ох (рис. 9).
Рис.9 Графическое представление в виде синусоиды поперечной волны, рас-
пространяющейся вдоль направления оси ОУ; точки совершают колебания вдоль оси Х с амплитудой А.
Решим простую задачу: на поверхности океана длина волны достигает
300 м, а ее круговая частота 0,46 рад/с. Чему равна скорость распространения волны?
Подставим данные в выражение для длины волны и получим
v = |
l |
= |
lw |
= |
300 × 0,46 |
= 22 |
м |
. |
|
2p |
|
||||||
T |
|
6,28 |
|
с |
|
При переходе волны из одной среды в другую частота волны не меня-
ется, а меняется только длина волны. Например, нужно оценить, во сколько раз изменится дина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду, ес-
ли скорость звука в воде v1 = 1460 м/с , а в воздухе v2 = 340 м/с.
l = vT = |
v |
, отсюда |
lвозд |
= |
v1 |
= |
340 |
= 0,233, |
||
|
lводы |
v2 |
|
|||||||
u |
|
|
|
1460 |
|
|||||
т.е. длина волны увеличится в |
1 |
= 4,3 раза. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
0,233 |
|
|
|
|
|
Приведенные здесь особенности волновых явлений и их характеристи-
ки используются также в оптике и электродинамике.
37
2. Основные понятия молекулярно-кинетической теории (МКТ)
2.1. Применение основного уравнения МКТ
При решении задач, |
связанных с нахождением количества молекул N, |
||||||||||
расчетом температуры Т, скорости v |
и кинетической энергии поступатель- |
||||||||||
ного движения молекул |
W |
к |
|
применяют закон |
АвогадроN = N |
A |
× |
m |
и |
||
M |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
основное уравнение МКТ |
p = |
1 |
nm0 |
v 2 , где р – давление идеального газа; |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
– концентрация молекул; |
n – число молекул в единицах объема, м-3(число |
||||||||||
молекул в единице объема); |
m0 – масса молекулы; |
v 2 – среднее значение |
|||||||||
квадрата скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основное уравнение можно записать также в виде |
|
|
|
|
p = nkT ,
где k – постоянная Больцмана, а Т – абсолютная температура газа; или
p= 2 nWк , 3
где Wк = |
m0 |
v2 |
|
|
|
– средняя кинетическая энергия поступательного дви- |
|
|
2 |
||
|
|
|
жения молекул. Форма записи выбирается в зависимости от данных имею-
щихся в условиях задачи.
Температура идеального газа связана с Wк соотношением
Wк = 3 kT
2
Рассмотрим применение формул на типичных задачах.
Пример 2.1.
Молярная масса кислорода М = 32 г/моль. Чему равна масса одной мо-
лекулы m0?
38
m0 |
= |
M |
= |
0,032 |
= 5,3×10-26 кг. |
|
6,02 ×1023 |
||||
|
|
N A |
|
Пример 2.2.
Какова масса кислорода в сосуде вместимостьюV = 5 л, если концен-
трация молекул равна n = 9,41·1023 м-3?
|
Поскольку m = m0 N , где N – число молекул, а N = |
m |
N A , и известно |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
n = |
N |
= |
m |
× N A , то m = |
nMV |
= 0,25 г. |
||
|
MV |
|
||||||
|
V |
|
N A |
Пример 2.3 .
Для условий примера 2.2. нужно найти плотность газа ρ.
Плотность газа определить из соотношения
r = |
m |
= |
nM |
= |
9 |
,41×1023 × 0,032 |
= 0,05 |
кг |
. |
|
|
|
6,02 ×1023 |
м3 |
|||||
|
V N A |
|
|
|
|
2.2. Описание состояния системы
Произведение постоянной Больцмана на число Авогадро дает универ-
сальную газовую постояннуюR = kN A = 8,31 |
Дж |
|
. Этой величиной |
моль × |
|
||
|
K |
пользуются при записи многих важных соотношений термодинамики. Так внутренняя энергия идеального газа записывается в виде
U = i m RT ,
2 M
где m =n – число молей газа.
M
Универсальное уравнение Менделеева – Клапейрона, описывающее со-
стояние газа, записывается как pV =nRT
При решении задач, связанных с нахождением таких параметров сис-
темы как объем, температура, давление, внутренняя энергия, работа, теплота,
используют уравнение Менделеева – Клапейрона, первый закон термодина-
39
мики (применительно к конкретному виду процесса) ил выражения для опи-
сания изопроцессов. Анализируя условия, нужно хорошо уяснить, какого ти-
па процесс имеет место, а именно:
-являются ли постоянными температура, давление или объем;
-остается ли постоянной масса газа;
-совершает ли газ положительную работу(например, при термическом расширении) или отрицательную при сжатии поршнем;
-происходит ли теплообмен с окружающей средой(не происходит при адиабатических процессах).
Затем следует определиться с математической записью процесса и запи-
сать уравнения каждого состояния.
Пример 2.4.
В баллоне объемом р = 10 л находится азот (М = 28 г/моль) , вес бал-
лона с газом равнялся Р1 = 2,5 кг. При неизменной температуре Т = 300 K из баллона взята часть газа, так что вес баллона стал Р2 = 2,25 кг. Как измени-
лось давление в баллоне?
Процесс происходит при изотермических условиях, но применить за-
кон Бойля-Мариотта нельзя, так как изменяется масса газа. В таких случаях рекомендуется записать уравнения Менделеева– Клапейрона для двух со-
стояний: до и после выпуска газа:
ì p V = |
m1 |
|
RT |
|||
|
|
|||||
ï |
1 |
|
M |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
||
í |
|
|
m2 |
|
|
|
ï p V = |
|
RT |
||||
|
|
|||||
ï |
2 |
|
M |
|
|
|
î |
|
|
|
|
При этом объем V и масса баллонаm не изменяются, а об изменения массы газа можно судить по тому, на сколько изменится вес баллона:
D m = P1 - P2 g
Используя записанные выражения и данные задачи, получим:
p1 = m1 RT ;
MV
40