Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

В этом случае выполняется условие åFy = 0 ; все проекции сил на ось

х равны 0. Cила P поворачивает рычаг против часовой стрелки, создавая от-

рицательный момент M1 = P × AO . А сила F – по часовой стрелке, создавая

положительный момент M2 = F ×OB .

Из условия равенства нулю суммарного момента находим соотношение

плеч: P × AO = F ×OB ; P = OB ; или OB = 5

F AO AO

Отсюда находим ОВ = 5АО = 1,25 м. Сила F = mg = 2000 H. 5

Пример 1.16.

Найти центр тяжести однородной круглой пластины с вырезом, пока-

занной на рис. 6.

Рис. 6 Вид пластины и обозначения, используемы при решении

При закреплении в центре тяжести пластина должна находиться в рав-

новесии. Понятно, что точка С должна находиться на диаметре и должна быть сдвинута от геометрического центра пластины на некоторое расстояние

ОС.

Рассмотрим условия равновесия относительно точки С. Моменты про-

тивоположных направлений создают сила тяжестиMg (действующая на

«пластину без выреза») и «отрицательная» сила тяжести mg от вырезанной части пластины (см. рис.6):

	æ R		ö
	Mg ×OC = mgç		+ OC ÷	(1)
		2
	è		ø

21

Так	как	пластина	имеет	одинаковую толщину, можно				записать
M = r × S × d	и	m = r × s × d ,	где r –	плотность			материала, S и s–	площади
кругов, а d – толщина пластины. Подставив эти выражения в (1) получим
				æ R			ö
		r × S × d × OC =		r × s × d ç			+ OC ÷
				è 2			ø
Т.е. центр тяжести находятся в точке отстоящей от центра большого
круга на R/6	влево.

Пример 1.15.

У гладкой вертикальной стены стоит лестница. Она образует с горизон-

том угол 45 °. Центр тяжести находится посередине лестницы. Чему равен коэффициент трения между полом и лестницей?

Для решения задачи построим чертеж и обозначим силы (рис.7).

Рис.7. Лестница, прислоненная к стене (к примеру 1.15)

На лестницу действуют:

r

– сила тяжести mg ;

r

– сила реакции опоры со стороны вертикальной стены N1 ;

r

– сила реакции со стороны пола N 2 ;

r

– сила трения между лестницей F2 . Сила трения в этой задаче равна 0, так и как лестница гладкая.

Из условия равенства проекций сил на оси находим:

N1 = F2 = m N 2 ;

22

N 2 = mg , так что N1 = m mg .

Находим моменты сил относительно центра тяжести С:

– сила тяжести не создает момента, так как ее линия действия проходит через

С и плечо равно нулю;

– сила реакции N1 создает отрицательный момент

M

1

= N

1

×

l

sina = m m g

l

sina (ее плечо

d

=

l

sina )

r

2

2

1

2

– сила реакции N 2 создает положительный момент

M2 = N 2 ×

l

sina = m g

l

sina (ее плечо d2

=

l

sina )

2

r

2

2

– сила трения

F2 создает отрицательный момент

M

3

= F

×

l

sina = m m g

l

sina (ее плечо

d

3

=

l

sina )

2

2

2

2

Сумма положительных и

отрицательных

моментов при равновесии

равна нулю:

r

r

r

M1 + M2 + M3 = 0 .

После подстановки с учетом знаков

m m g

l

sina + m m g

l

sina = m g

l

sina

2

2

2

Откуда 2m = 1 ; μ = 0,5

Таким образом, коэффициент трения между лестницей и полом составляет

0,5.

Решите самостоятельно.

5) В цилиндрический сосуд радиусаR = 0.25 м наливают воду. До ка-

кой высоты ее надо наливать, что бы силы давления на дно и стенки сосуда были одинаковы?

(Ответ: 25 см)

6) На двух опорах, находящихся на расстояние 2 м друг от друга, лежит балка массой 200 кг. С какой силой она давит на каждую из опор?

(Ответ: 100 Н)

23

1.3. Движение по окружности (кинематика, динамика)

Решая задачи, в которых рассматривается движение по окружности,

необходимо помнить выражения для основных кинематических характери-

стик: линейной и угловой скорости, периода обращения, центростремитель-

ного ускорения. (Они приведены в методических указаниях «Физика» ч.1).

Кроме того, необходимо учитывать, что если на тело, движущееся по круговой траектории действует несколько сил, то их равнодействующая, на-

правленная к центру окружности, является центростремительной силой Fцс.

Эта сила удерживает тело на окружности; по второму закону Ньютона

Fцс = maцс = m V 2 = mw 2 R ,

R

где R – радиус окружности.

В роли центростремительной силы при движении небесных тел(пла-

нет вокруг Солнца, Луны вокруг Земли) и искусственных спутников высту-

пает гравитационная сила.

Рассмотрим несколько типичных задач.

Пример 1.16.

Диск радиуса вращается, делая n = 33 об/мин. Какова угловая скорость

ω? Каковы линейные скорости на ободе диска и в точках, находящихся на

R = 5 см ближе к центру?

Для нахождения угловой скорости используем выражениеw = 2p n ,

где ν – число оборотов в секунду;

n = n = 33 = 0,55 с-1. 60 60

Таким образом, w = 2× 3,14 ×0,55 » 3,5 рад/с.

Она одинакова во всех точках.

Линейная скорость на ободе диска найдется из выражения v1 = w R :

v1 = 3,5× 0,15 = 0,52 м .

с

24

Линейная скорость точек, находящихся ближе к центру на R, опреде-

ляется из v = w (R - DR) = 3,5 × 0,10 = 0,35 м

с

Пример наглядно показывает, что линейная скорость тем выше, чем дальше от центра, и максимальна – на ободе.

Пример 1.17.

Мальчик массой m = 40 кг качается на качелях с длиной подвесаl = 4 м.

С какой силой мальчик давит на сидение при прохождении наинизшего -по ложения со скоростью v = 6 м/с?

Рис. 8. пояснение к записи динамического уравнения при движении по -ок ружности

Посмотрим схему на рисунке 8а. В наинизшей точке на мальчика дей-

r

ствуют сила тяжести mg и сила натяжения подвеса T , направленные по вертикали вдоль радиуса в противоположные стороны. Динамическое урав-

нение запишется:

r	r	r
maцс = mg		+ T .

Проекции сил, направленных к центру, считаются положительными,

радиус равен длине подвеса, так что

25

			mv2
						= T - mg .
				l
	mv2	æ			36 ö
Отсюда T =		+ mg . T = 40ç10		+			÷	Н.
	l
		è			4 ø

По третьему закону Ньютона сила натяжения подвеса равна силе, с ко-

торой мальчик давит на сидение (весу), так что Р =Т = 760 Н.

Сила натяжения в нижней точке максимальна; если происходит обрыв подвеса, то это случается именно здесь.

Пример 1.18.

Автомобиль массой движется по горбатому мосту с радиусом кривизны

R = 10 м. Какова сила давления его на мост в верхней точке, если скорость движения v = 18 км/ч?

Дано:			Решение:
m = 1500 кг				r	r
				P = -N , а по модулю Р =N (см. рис. 8б).
R = 10 м						r			r	r
					maцс = mg					+T
v = 18 км/ч=35 м/с
						mv2		= mg - N
Р -?						R
	mv
		2			æ		25ö
N = mg -				;	N = 1500× ç10 -				÷ = 11250 Н = 11,25 кН
	R
					è		10 ø

Ответ: сила давления автомобиля в верхней точке моста составляет 11,25 кН.

Для сравнения: на горизонтальной поверхности эта сила равнаmg и

составляет 11,5 кН . Скорость движения по мосту ограничена: если N = 0, то

	автомобиль будет двигаться по касательной. Это случится, если			mv 2	= mg
				R
	или v =		. В нашем случае vmax = 10 м/с = 36 км/ч. Выражение v =				,
		gR				gRз

где Rз – радиус Земли, используется для оценки первой космической скоро-

сти. Для других космических тел нужно подставлять ихрадиусы и ускоре-

ния свободного падения. Последние определяются из выражений для силы

26

тяжести и гравитационной силы; играющей роль центростремительной силы:

mg = G M × m , где m – масса тела.

R2

	Получим g = G	M	, где G – гравитационная постоянная, M и R – мас-
		R2

са и радиус космического тела.

Пример 1.19.

Оцените ускорение свободного падения на Луне, если известно, что ее масса в 81 раз меньше массы Земли, а радиус – в 3,7 раза меньше земного.

Запишем силу тяжести и гравитационную силу, которые действуют на

какое-то

тело

массойm

на

Земле

mgЗ = G

M

З

× m

и на Луне

RЗ

2

mg л = G

M л

× m .

Rл2

Отсюда

g л

=

M л × Rз

2

, Мз = 81 Мл;

Rз = 3,7 Мл ;

gз = 10 м/с2;

M з × Rл

2

gз

так что g л = gз ×

M л × 3,72 × Rл2

= g з ×

3,72

» 1,69 м

.

81M л × Rл2

81

с 2

Решите самостоятельно.

7) Если тело массой m = 100 кг на Земле весит Р = 1000 Н, то сколько оно будет весить на Луне, масса которой в 81 раз меньше массы Земли, а ра-

диус в 3,7 раза меньше радиуса Земли?

(Ответ: ≈ 170 Н)

8) На сколько изменится максимальная сила натяжения нити длиной

0,5 м, на которой в вертикальной плоскости вращается гирька массой50 г,

делая 1 об/с, если длину нити уменьшить вдвое?

(Ответ: уменьшится на 0,5 Н)

27

1.4. Законы сохранения импульса и механической энергии

Вспомним, что импульс тела – это произведение тела на его скорость:

v

p = mv ; это векторная величина, направление которой такое, как направле-

ние скорости. В замкнутой системе суммарный импульс до взаимодействия

тел равен таковому после взаимодействия.
Энергия –	скалярная			величина;	это количественная мера движения
взаимодействия	всех видов материи.				В механике рассматривают кинетиче-
скую энергию W =		mv2		и потенциальную		энергию, определяемую				взаим-
	к	2
ным положением тел (Wp = mgh) или частей						одного и того же тела(напри-
мер, энергия деформированной пружиныWp =							kx	2	, где k – коэффициент
							2
жесткости; х – величина растяжения или сжатия пружины). Все виды энергии
измеряются в джоулях (Дж). Мерой изменения энергии является работа: из-
менение кинетической энергии равно работе равнодействующих всех ,сил
приложенных	к	.телуРабота			силы		рассчитывается			по	формуле
							r
A = F × S cosa , где α – угол направлениями силы F и перемещением.

Полная механическая энергия движущегося тела определяется суммой потенциальной и кинетической энергий и остается неизменной.

Энергетический подход позволяет изящно решать многие задачи по

механике. Например, (см. рис. 3) наибольшее тело соскальзывает без трения

с наклонной плоскости высотойh = 5 м с углом α = 30°. Требуется опреде-

лить его скорость v в конце наклонной плоскости.

На вершине наклонной плоскости пока тело не начало двигаться пол-

ная энергия тела определяется его потенциальной энергией: Wp = mgh. Ну-

левой уровень потенциальной энергии выбирается исходя из условий задачи;

в нашем случае удобно принять за него основание наклонной плоскости. То-

гда в конце спускаWp = 0, а полная энергия определяется кинетической

28

энергией

тела

W =

mv2

.

Из

условия

сохранения

энерг

к

2

Wт = Wp

+Wк = const можем записать:

mgh =

mv2

м

, отсюда v =

2gh или v = 2 ×10 ×5 = 10

.

2

с

Теперь применим аналогичный подход к решению примера1.5. из раз-

дела 1.2.2. Так как в этом случае совершается работа против силы трения

A=FтрS (S – длина спуска, α = 30°, так что S = 2h = 10 м), то закон сохране-

ния энергии запишется в виде:

	mgh =	mv2	+ A;	mv2	= mgh- F S .
	2			2			тр
						mv2
	В свою очередь Fтр=μ mg cosα, поэтому получаем:						= mgh - m mgS cosa
						2

и v = 2 gh - 2m mgS cosa » 9 мс .

Результаты применения динамического подхода к решению задачи и энергетического совпадают.

Рассмотрим типичные задачи на законы сохранения энергии и импуль-

са, а так же на расчет работы сил.

Пример 1.20.

Тело массой m = 1 кг брошено под углом α = 60° к горизонту со ско-

ростью v = 10 м/с. (пример 1.2. из раздела 1.1.2 и рис.2). Нужно определить,

как соотносятся начальная кинетическая энергияW1 и его кинетическая энергия в верхней точке подъема W2, и оценить работу по преодолению силы тяжести.

Начальная кинетическая энергия W1 = mv02 .

2

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости рав-

		mv	2 cos2 a
ная нулю, остается только v	г = v0 cosa , так что W2 =	0		.
			2

29

Соотношение энергий	имеет вид:	W2	= cos2 a =	1	или W1 = 4 W2 .
		W1
			4
Следовательно, работа равна	А = 4 W2 – W1 = 3 W2 = 3/(2·4) = 37,5 Дж.

Пример 1.21.

Для этих же условий из энергетических соображений найдем макси-

мальную высоту подъема тела уmax.

В точке бросания вклад вертикальной составляющей скорости в кине-

тическую энергию равен Wв1 = mvв02 , что определяет полную энергию тела,

2

брошенного вертикально вверх с vв0 = v0 sina = 8,6 м с .

В верхней точке vв = 0 ; полная энергия определяется потенциальной энергией относительно у = 0:

Wв2 = mgh = mgymax .

Таким образом ymax =	v 2		v2 sin2 a	; уmax=3,75 м
	в0	=
			2g
	2g

Полученное значение совпадает с найденным значением кинематиче-

ским способом.

Пример 1.22.

Тело массой m = 1 кг брошено под углом α = 60° к горизонту со ско-

ростью v = 10	м/с. Нужно определить модуль импульса в верхней точке.
Модуль	импульса p = mv , а скорость в верхней точке равна горизон-
тальной составляющей: v = v		= v	0	cosa = 5	м	, следовательно р=1·5 =5	кг × м
	1				с		с

Пример 1.23.

Два шара одинаковой массы движутся перпендикулярно друг другу с одинаковыми скоростями V. Найти их суммарный импульс после неупругого удара, когда они начали двигаться как единое целое.

Изобразим сложение векторов на графике.

30