Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

Решите самостоятельно.

2) Точечный заряд +q находится вблизи бесконечной плоскости с по-

верхностной плотностью заряда q. Какая работа совершится при перемеще-

нии этого заряда на расстояние l вдоль силовой линии?

Указание: используйте выражение E = s .

2ee0

(Ответ: A = s ql )

2ee0

3.1.3.Электрическая емкость. Конденсаторы

Емкость (С) – это скалярная характеристика проводника, которая пока-

зывает, на сколько нужно увеличить его заряд, чтобы потенциал изменился на единицу (1 В). Внутри проводника электрическое поле отсутствует; ем-

кость зависит от формы проводника. Решение большей части задач на элек-

трическую емкость базируется на прямом применении основных форму.

Полезно учитывать, что если конденсатор не отключался от источника напряжения, то разность потенциалов между его обкладками остается посто-

янной. Если же конденсатор отключен, то остается постоянным заряд. Рас-

смотрим задачу.

Пример 3.11.

Плоский воздушный конденсатор ε = 1 заряжен до разности потенциа-

лов U = 20 В. Как изменится разность потенциалов, если увеличить расстоя-

ние между пластинами d в 4 раза?

Заряд q = UC при этом остается постоянным, а емкость C = ee0 S (где d

ε0 = 8,854·10-12 Ф/м; S – площадь пластины, d – расстояние между пластина-

ми) уменьшится в 4 раза, так как d ¢ = 4 d. Таким образом, разность потенциа-

лов становится U ¢ = 4U = 80В.

61

Пример 3.12.

У воздушного конденсатора, не отключая его от источника напряже-

ния, вдвое увеличили расстояние между пластинами. Как изменится его за-

ряд?

Исходя из условия постоянства разности потенциалов и формулы ем-

кости плоского конденсатора, получим С2	=	С1	, т.е.	q2	=	q1	.
	2				2

Пример 3.13.

Воздушный зазор плоского конденсатора заполнили диэлектриком с

ε = 4. как изменилась емкость конденсатора?

Из основной формулы C = ee0 S видно, что емкость при этом увеличи- d

вается в 4 раза (для воздуха ε =1).

Пример 3.14.

На приведенном рис.18 показана батарея конденсаторов, каждый из которых имеет емкость С = 1 мкФ. Разность потенциалов UАВ = 100 В. Требу-

ется определить заряды q1, q2, q3 на каждом из конденсаторов после отключе-

ния от источника и энергию каждого конденсатора.

Рис. 18

Начнем с определения суммарной емкости батареи конденсаторов:

62

1

=

1

+

1

=

1

+

1

=

3

СS

С1 + С2

С3

2С С 2С

СS

=

2С

3

Общий заряд батареи составит Q = CS U =

2CU

=

2 ×10-6 ×102

» 66 мкКл.

3

3

Так

как схема состоит

из

двух

последовательно

соединенных

частей, то

q

= q = Q , а

U1,2

=

C

и U

+ U

3

= U .

1,2

3

U3

C1

+ C2

1,2

Отсюда U3

=

U (C1 + C2 )

=

2U

C1 + C2 + C3

3

q U

C U

2

q 2

Энергия конденсатора С3

составляет W

=

3 3

=

3

3

=

3

= 4,4

3

2

2

2C3

мДж.

Заряды на одинаковых конденсаторах С1 и С2 равны

Q

= 33 мкКл.

2

Соответственно их энергии одинаковы и равны

2

10-6 ×104

W

=

C1,2U1,2

=

= 5,6 мДж.

3

2

2 × 9

3.2.Постоянный электрический ток

3.2.1.Закон Ома для однородного участка цепи. Соединение резисторов

Задачи этого раздела предполагают нахождение сопротивления про-

водника, напряжения на нем и(или) силы тока без учета информации о ис-

точнике питания цепи. К этой группе можно отнести и задачи на расчет со-

противления при изменении температуры. Общие рекомендации по решению заключаются в следующем:

-начертите схему электрической цепи; если необходимо – преобразуйте ее таким образом, чтобы Вам стало понятно, какие элементы соедине-

ны последовательно, а какие – параллельно. При преобразовании схе-

63

мы учтите, что ток не течет между точками цепи с одинаковыми -по тенциалами, так что их можно объединить в одну точку. Кроме того,

постоянный ток не течет через конденсаторы;

-запишите закон Ома для всей цепи, предварительно сосчитав общее сопротивление; затем примените закон Ома к рассматриваемым участ-

кам цепи.

Вкачестве примера выберем схему общего вида, в которой U = 12 В.

Рис.19.

Лампы 1 и 2 одинаковы и имеют Rл = 9,0 Ом каждая; r1 = 1,05 Ом, r2 = 2,0 Ом, С = 10 нФ.

Лампочки образуют параллельное разветвление АВ. Сопротивление первой ветви Rл , второй – Rл + r2. общее сопротивление этого разветвления обозначим RАВ. К этому сопротивлению последовательно присоединен рези-

стор r1. Общее сопротивление всей цепи равно RS = RAB + r1 . Зная напряже-

ние UАВ между этими точками и емкость конденсатора, найдем энергию W

поля конденсатора.

Силу тока в неразветвленной части найдем по закону Ома:

IS = U

RS

Сопротивление параллельного разветвления равно

RAB = Rл (Rл + r2 )

2Rл + r2

Напряжение на лампочке 1 – это напряжение между узлами А и В:

U1 = U AB = IS RAB

64

Напряжение на лампочке 2 равно U2 = I 2 RЛ , где I 2 – сила тока, те-

кущего через эту лампочку.

Пример 3.15.

Найдите отношение сопротивлений RАВ и RCD схем, изображенных на рисунке.

Рис. 20. Схема к примеру 3.15.

Из-за симметрии цепи потенциалы точек E и F одинаковы, так что ток между ними не течет и среднее сопротивление можно просто не рассматри-

вать. тогда суммарное сопротивление цепи АВ составит (рис. 20 а):

Рис. 20 а.

1

=

1

+

1

=

2

=

1

RS

2R

R

2R

2R

RS

= R

Суммарное сопротивление цепи CD на рис. 20 R

= R : R =

R

+

R

= R .

S

S

2

2

Следовательно, оба варианта схем являются эквивалентны.

Полезно помнить, что для измерения силы тока применяется ампер-

метр. Он подключается последовательно анализируемому участку цепи и по-

этому должен иметь очень маленькое сопротивление, чтобы не искажать ра-

боту цепи и информацию о силе тока. Напряжение измеряется параллельно подключаемым вольтметром, имеющим большое сопротивление.

65

Пример 3.16.

Электроизмерительный прибор постоянного тока рассчитан на измере-

ние максимального напряжения U = 5 В; его сопротивление R = 500 Ом, шка-

ла имеет n = 100 делений. Какова будет цена деления ,а если использовать прибор в качестве миллиамперметра?

В общем случае цена деления определяется количеством измеряемой

величины в каждом делении. В нашем случае a = I ; силу тока найдем по за-

									n
кону Ома :	I =	U		=	5		= 0,01A = 10мА .
					500
		R
Тогда	a =		10			= 0,1		мА – цена	деления прибора окажется равной0,1
	100
миллиамперу.
Часто	требуется							рассчитать	необходимое сопротивление резистора,

включенного в цепь для обеспечения нормальной работы других элементов цепи.

Пример 3.17.

Какой величины должно быть дополнительное сопротивлениеRх, что-

бы можно было включить в цепь с напряжением питанияU = 200 В в устрой-

ство (например, лампу с сопротивлением R1 = 30 Ом), которое нормально ра-

ботает при U1 = 120 В?

Из условий нормальной работы I1 = U1 = 4 А.

R1

Дополнительное сопротивление присоединяется последовательно, так

что U = U 1 + Rx	× I1	и Rx =	U -U1	= 25 Ом.
			I1

Рассматривая задачи на изменение сопротивления с температурой, по-

лезно пояснить, что справочные данные по удельному сопротивлению обыч-

но приводятся для 0°С (Т = 273 K). На лампах указываются их мощности и

66

напряжение, связанные соотношением P = U 2 . Пользуясь этими данными,

R

находим сопротивление R в нагретом состоянии.

Пример 3.18.

Сопротивление лампы с обозначением«100Вт; 220 В» (Р =100Вт, U = 220 В) в накаленном состоянии при температуре нитиt2 = 2500 °С в n = 15

раз больше, чем при t1 = 10 °С. Требуется найти температурный коэффициент

сопротивления.

Для металлических проводников, каковым является нить лампы нака-

ливания, температурный коэффициент α в выражении Rt = R0 (1 +aDT ), где

Т – изменение температуры по сравнению с 0 °С (или Т = 273 K), а R0 – со-

противление при 0°С.
При t1	= 10 °С R1 = R0 (1 + aDT1 )	Т1 = 10 K
При t2	= 2500 °С R2 = R0 (1 +aDT2 )	Т2 = 2500 K.

По условию задачи R2 = 15 R1.

Таким образом получаем систему уравнений:

ìïR1 íR2

ïîR2

= R0 (1 +10a )	(1)
= R0 (1 + 2500a )	(2 )
= 15R1	(3 )

Разделив уравнение (3) на уравнение (2), получим

15 = 1 + 2500a , откуда α = 0,006 К-1. 1 +10a

Решите самостоятельно.

4) Во сколько раз изменятся показания амперметра, если от схемы на рис. 21 а. а перейти к схеме на рис. 21 б.

(Ответ: в 2 раза уменьшится)

67

5)Найти силу токов и напряжения в цепи(рис. 22), если амперметр пока-

зывает 2 А, а сопротивление резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 15

Ом, R4 = 4 Ом.

Рис.22.

(Ответ: U2 = U3=30 В; U1 = 10 В; U4 = 20 В; I1=I4=5 A; I2 = 3 А; UАВ = 60 В).

3.2.2.Применение закона Ома для полной цепи. Работа и мощность

В состав полной электрической цепи тока обязательно входит источник

электродвижущей силы (ЭДС, ε) который обладает собственным сопротив-

лением r. Поэтому запись закона Ома несколько усложняетсяI =				e	, где
			R + r
R – сопротивление внешнего участка цепи. Напряжение на зажимах источни-
ка U = e - Ir . Если R = 0, то в цепи протекает ток короткого				замыкания
I кз =	e	.
	r

В цепь может быть включено несколько (n) источников ЭДС; если они одинаковы и включены последовательно, то их ЭДС и внутренние сопротив-

ления суммируются и ток определяется по формуле I = n ×e . При парал-

R + n × r

лельном соединении одинаковых элементов суммарная ЭДС не меняется, но

в n раз уменьшится внутреннее сопротивление: I =	e		или I =	n ×e	.
		r
	R +			n × R + r
		n

Как любое энергетическое устройство, источник ЭДС характеризуется коэффициентом полезного действия η:

68

h =	U	×100 %; h =	R	×100 %.
	e
			R + r

Если перейти к записи мощности тока, P = UI = U 2 = I 2 R , то макси-

R

мальная полезная мощность источника ЭДС составляет P max= e 2 . Работа и

4r

тепловое действие тока описываются одинаковыми выражениями:

Q = P × t = IUt = U 2 t = I 2 RT

R

и измеряются в джоулях Рассмотрим применение основных соотношений этого раздела для ре-

шения задач.

Пример 3.19.

КПД источника напряжения с ε = 36 В равен 90 %. Каково напряжение на зажимах источника?

U = he = 32,4 В 100

Пример 3.20.

Внутреннее сопротивление этого источникаr = 0,5 Ом. 1) При каком сопротивление внешней цепиR реализуется η = 90 %? 2) Какова макси-

мальная полезная мощность источника?

1) h =	R	×100 %, откуда R =	h × r	= 4,5 Ом
	R + r
		100 -h

2) Pmax = e 2 = 1296 = 648 Вт. 4r 2

До сих пор до сих под мы рассматривали прямое применение формул.

Решим задачу посложнее.

Пример 3.21.

Определить время, необходимое для нагрева V = 1 л воды от t1 = 20 °С

до кипячения, если КПД нагревателя η = 80 %, его сопротивление R = 60 Ом,

напряжение в цепи U = 220 В.

69

Начинаем решение с записи КПД: h = Qпол ×100 % = 80 %.

		Qзатр
Полезная теплота израсходована на нагрев воды:
Qпол = cmD t = 4200 ×1×80 = 336 кДж,					m = rV = 1 кг .
От сети питания потреблена энергия: Qзатр =			Qпол ×100		= 420 кДж.
			80
	U 2				Qзатр R
Ее можно записать также в виде: Qзатр =		t , откуда t =				.
	R				U 2

t = 420 × 60 ×1000 = 520 c » 8 мин 40 с . 48400

Вывод: чем больше сопротивление нагревателя, тем дольше происхо-

дит нагрев.

Пример 3.22.

Сколько источников ЭДС с ε = 210 В и r = 1 Ом и каким способом сле-

дует соединить , что бы при сопротивлении нагрузки R = 100 Ом получить ток I = 10 А?

При параллельном соединении источников такой ток получить не уда-

стся: I =

e

, так как R +

r

=

e

=

210

= 21 Ом

r

R +

n I 10

n

При последовательном соединении: I =

e

,

R

+ r = 21Ом , отсюда n = 5.

R

+ r

n

n

Пример 3.23.

При каком внешнем сопротивлении полезная мощность источника тока с ε = 12 В и R = 0,2 Ом, обеспечивающего ток I = 2 А, максимальна?

Пользуясь приведенным выше соотношением, запишем I 2 R = e 2 ,

4r

Откуда R =	e	2	= 45 Ом .
	4I
		2r

70