Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

3.3.Характеристики магнитного поля

3.3.1.Магнитное взаимодействие токов

Электрический ток (и любой движущийся заряд) создает в пространст-

ве магнитное поле. Векторной характеристикой этого поля является магнит-

ная индукция B , направление которой определяется по правилу буравчика.

Значение B в данной точке зависит от силы тока, магнитной проницаемости среды, формы проводника и расстояния от точки до проводника. Индукция – это силовая характеристика; ее можно определить из закона Ампера:

B =

F

I × l

где F – сила, действующая на прямой проводник с токомI, находящийся в магнитном поле и перпендикулярный силовым линиям поля. Магнитные ли-

нии поля, создаваемого прямым проводником, представляют собой концен-

трические окружности.

Рассмотрим примеры задач.

Пример 3.24.

Как взаимодействуют параллельные токи, направленные так, как пока-

зано на рисунках? Проводники расположены перпендикулярно плоскости чертежа. Найти значение индукции поля в точке, находящейся в вакууме на расстоянии 2 см от первого проводника и 1 см от второго, если токи I1 = I2 = 10 А.

При решении подобных задач, как в электростатике, используется

принцип суперпозиции: сначала находим В1	по формуле B	=	m m0 I1	. Для
	1		2p a1

71

вакуума μ = 1; по правилу буравчика в точке А вектор индукции B1 направ-

лен вниз.

Вектор

B2

в точке

А направлен

вверх; значение индукции найдем из

m m0 I1

r

r

r

B

=

. Суммарный вектор B = B + B ; его значение

2

2p a2

1

2

m

0

æ

I

2

I

ö

4p ×10-7 æ

10

10

ö

B =

ç

-

1

÷

=

ç

-

÷

= 0,1 мТл.

2p

ç

÷

2p

ç

2 2 ×10-2

÷

è a2

a1 ø

è10-

ø

Согласно расчету, суммарный вектор индукции направлен вверх; ин-

дукция магнитного поля, создаваемого в точке А двумя токами I1 и I2 состав-

ляет 0,1 мТл.

Пример 3.25.

Найти индукцию в центре кольцевого токаI = 10 А, находящегося на воздухе, если длина проводника, свернутого в кольцо, равна l = 1 м.

В центре кольцевого тока B =				m m0 I		. Поскольку R =		l	, получим:
				2R				2p
B =	2pm0 I	=	2p × 4p ×10-7 ×10				» 80 мкТл
	l				1

Приведенные примеры показывают, что единица измерения магнитной индукции – тесла – имеет большой размер. Получение значений В в десятки тесла должно наводить на подозрение об ошибке в расчетах.

Пример 3.26.

Определить индукцию магнитного поля на оси соленоида(катушки) дли-

ной l = 0,5 м с током I = 2 А, если в него введен ферритовый сердечник (μ = 100).

По формуле находим B = mm0 I N = 102 × 4p ×10-7 × 2 × 500 » 0,25 Тл.
l	0,5

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, описыва-

ется законом Ампера:

F = IlB sina ,

где α – угол между направлениями индукции и тока.

72

Сила, действующая на движущийся со скоростью V заряд q – сила Ло-

ренца:

F = m m0 I1I2 ,

2p a

где а – расстояние между проводниками.

Рассмотрим типичные задачи.

Пример 3.27.

Для условий Примера 1 найти силу взаимодействия проводников.

F =	m0 I1I2	=	4p ×10-7 ×10 ×10	= 0,66 мН.
	2p (a1 + a2 )		2p × 3×10-2

Пример 3.28.

Электрон влетает в магнитное поле В = 0,2 Тл со скоростью V = 106 м/с

перпендикулярно силовым линиям. Каковы радиус и период обращения электрона?

Дано:

Решение:

В = 0,2 Тл

Сила Лоренца, действующая со стороны магнитного по-

V = 106 м/с

ля на движущуюся частицу, искривляет ее траекторию. В

q =

e

= –1,6·10-19 Кл

этой ситуации она выступает в качестве центростреми-

me = 9,1·10-31 кг

тельной силы.

mV

R –?

Поэтому можно записать: qVB =

T – ?

R

Отсюда: R =

mV

=

9,1×10-31 ×106

= 28 мкм

qB

1,6 ×10-19

× 0,2

Соответственно T =

2pR

=

2 ×3,14 × 28

» 0,18 мс.

V

106

Решите самостоятельно.

5) По горизонтально расположенному проводнику длинойl = 20 см и массой m = 4 г течет ток I = 10 А. Найдите индукцию магнитного поля (ве-

73

личину и направление), в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновешивалась силой Ампера.

(Ответ: 20 мТл). 6) Электрон, ускоренный электрическим полем с разностью потенциа-

лов 100 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 1,5 мТл перпен-

дикулярно силовым линиям. Определите величину силы Лоренца, дейст-

вующей на электрон.

(Ответ: 1,4 10 Н)

Скалярной характеристикой поля является магнитный поток. Он связан с магнитной индукцией В и площадью контураS, проницаемого магнитным полем соотношением

Ф = BS cosa ,

где α – угол между нормалью n к плоскости и вектором B .

Если поток, пронизывающий контур изменяется, например, уменьша-

ется или увеличивается индукцияB , или контур поворачивается относи-

тельно направления B , то в контуре наводится ЭДС. Если контур замкнут, то в нем протекает индукционный ток. Чем быстрее изменяется магнитный по-

ток, тем больше ЭДС индуцируется:
	e		=	DФ	=	D BS cosa	=	BD S cosa	=	BSD(cosa )	.
				D t		D t		D t		D t

При решении задач в зависимости от условий можно использовать лю-

бое из этих соотношений. Единицей магнитного потока служит вебер (Вб).

Если изменять поток I, создающий магнитное поле, то возникает ЭДС

самоиндукции e = -L D I , где L – индуктивность проводника (контура), за-

D t

висящая от его формы, измеряется в генри (Гн). Часто встречаются задачи, в

которых анализируется магнитное поле в катушке(соленоиде), индуктив-

74

ность которого L = mm0 N 2 S , где N – число витков, S – сечение и l – длина l

соленоида.

Подобно конденсатору в электростатике катушка является накопителем

энергии магнитного поля W =			LI	2	, которая может быть записана также в
			2
виде W =	IФ	.

2

Разберем применение введенных соотношений при решении задач.

Пример 3.29.

В однородном магнитном поле сВ = 0,6 Тл перпендикулярно магнит-

ному полю равномерно движется проводник длинойL = 0,2 м с током I = 4

А. Cскорость проводника V = 0,2 м/с. Требуется найти: 1) работу по переме-

щению проводника за времяt = 10 с 2) разность потенциалов, возникающих между концами проводника.

1) Работа совершается силой Ампера

r r

F = BIl ( sina = 1, так как B ^ V по условию задачи)

и вычисляется по обычной формуле для механической работы

A = Fx cosa ( cosa = 1так как направления действия силы и перемещения – по правилу левой руки совпадают).

х – расстояние, пройденное проводником за время t: x = Vt .

Таким образом A = BIlVt = 0,6 × 4 × 0,2 × 0,2 ×10 = 0,96 Дж.

2) ЭДС, которая наводится между концами проводника, движущегося в магнитном поле, вычисляется из следующих соображений:

e = DФ , D t

где Ф – изменение потока за время t. Так как поле однородно, то изменение потока обусловлено изменением пересеченных линий поля: DS = lx = lVt .

В итоге получаем:		e		=	BDS	=	BlVt	= BlV ( cosa = 1 ).
					D t		t

75

e

= 0,6 × 0,2 × 0,2 = 0,024 В.

Пример 3.30.

Катушка диаметром d = 10 см и длиной l = 60 см имеет N = 1000 вит-

ков. Ток равномерно увеличивается

наD I = 0,2 А за t

= 1 с. На соленоид

плотно надето кольцо из медной проволоки сечениемS = 2 мм2. Найти силу

индукционного

тока

в

кольце, если

удельное

сопротивление

меди

r = 0,017

Ом × мм2

.

м

При изменении

тока

в

катушке возникает ЭДС самоиндукции

e = -L

D I

, которая обуславливает протекание в замкнутом кольце индукци-

t

онного тока I K =

e

, где R – электрическое сопротивление кольца R = r

l

;

R

S

Длина проводника, образующего кольцо l = p d , так что

R = r pd » 0,003 Ом .

S

Для нахождения ЭДС нужно определить индуктивность катушки:

L =

mm

0

N 2 S

K

, (на воздухе μ = 1) где SК – сечение катушки: SK

=

p d

2

;

l

4

Таким образом L =

m0 N 2p d 2

.

4 l

Подставим найденное соотношение в выражение для индукционного

тока и найдем его значение:

I K

=

e

=

m0 N 2p d 2D I

=

4p ×10-7 ×106 × 0,1

× 0,2

» 1,23 мА.

Rt

0,003×1

R

Пример 3.31.

Рамка, состоящая из N = 20 витков провода поворачивается в магнит-

ном поле таким образом, что пронизывающий ее магнитный поток уменьша-

ется от максимального Ф1 = 0,2 Вб до Ф2 = 0,1 Вб за время t = 0,16 с. 1) Какая ЭДС индукции ε наводится в рамке?

76

2)Какой максимальный вращательный момент М действует на нее?

3)Какую работу совершают электромагнитные силы, если ток в каждом витке I = 1 А?

1) Используем выражение e = - DФ и находим ответ на первый вопрос:

D t

e = Ф2 - Ф1 × N = 0,1 × 20 = 20 В. (Так как ε наводится в каждом витке, t 0,1

умножаем на число витков N).

2)Максимальный вращательный момент находится по формуле, приве-

денной в методических указаниях «Физика» часть 1.

Mmax = IBS = IФ1N = 1× 0,2 × 20 = 4 Н·м

3)Работа электрических сил

A = IBS = IФ1N = 4 Н·м

Решите самостоятельно

7) В катушке, состоящей из N = 200 витков, магнитный поток Ф = 10-2

Вб за какое время исчезнет магнитный поток при размыкании цепи, если в катушке при этом возникает ЭДС индукции ε = 5В?

(Ответ: 0,4 с) 8) Плоский виток провода площадью S = 20 см2 расположен в однород-

ном магнитном поле с индукциейВ = 1,5 Тл перпендикулярно линиям ин-

дукции. Найдите изменение магнитного потока, пронизывающего виток, если его повернули на угол α:

1) α = 30° 2) α = 90° 3) α = 180° 4) α = 360°

3.4. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны

Если рамку равномерно вращать в магнитном поле с круговой частотой

ω, то в ней возникнут синусоидально изменяющиеся ЭДС и ток:

77

e = emax sinwt = NBS sinwt ,

где N – число витков, BS – поток, пронизывающий каждый виток. Перемен-

ные ток и напряжение тоже будут меняться по закону синусоиды

U= Umax sinw t

i= Imax sin(w t +j )

	Поскольку w = 2p f , где f =	1	– частота, а Т – период, то можно со-
		T

образить, что для промышленной частоты f = 50 Гц Т = 0,02 с, а круговая

(циклическая частота) w = 314 рад/с.

Действующее значение токов и напряжений связаны с максимальными

соотношениями I = I max и U = Umax , а при расчете цепей переменного

2 2

тока по закону Ома используется выражение для записи реактивных сопро-

тивлений и полного сопротивления(см. Методические указания «Физика» часть 1). Емкостное сопротивление ХC учитывается, если в цепи есть кон-

денсаторы, а индуктивное (ХL) – при наличии катушек. Если ХC = ХL, то

I max = U max , что является условием резонанса.

R

Примеры расчета цепей переменного тока.

Пример 3.32.

В цепь переменного напряжения U = 220 В с частотой f = 50 Гц вклю-

чены конденсаторы суммарной емкостьюС = 2 мФ, катушки индуктивно-

стью L = 10 мГн; сопротивление проводов R = 2,5 м. определить максималь-

ное значение тока в цепи и среднюю мощность, выделяющуюся в цепи.

Обычно указывается действующее значение напряжения, поэтому пре-

жде чем применять закон Ома для цепи переменного тока I max					=	U max	, нуж-
						Z
но найти U max = U		: U max = 220		= 310B .
	2		2
Затем найдем полное сопротивление цепи

78

Z = (XC - X L )2 + R2 = (1,59 - 3,14)2 + 2,552 » 3 Ом.

1 1

Емкостное сопротивление XC = wC = 314× 2 ×10-3 » 1,59 Ом.

Индуктивное сопротивление X L = wL = 314 ×10-1 = 3,14 Ом.

Следовательно, в такой цепи максимальный ток достигает значения

I max = 310 = 103 А. 3

Средняя мощность, выделяемая в этой цепи

P = ImaxUmax = 103 × 310 = 16 кВт. 2 2

Пример 3.33.

Какое активное сопротивление Rx следует включить в цепь, параметры которой даны в Примере 1, чтобы уменьшить максимальный ток до 10 А?

Чтобы уменьшить I max в 10,3 раза, нужно в такое же число раз увели-

чить полное сопротивление:

Z1 = 10,3Z , откуда 10, Z = Z 2 + Rx2 .

Возводя обе части в квадрат, находим Rx = 30,75 Ом.

Задачи на преобразование переменных напряжений(токов) в транс-

форматорах решают, обращая особое внимание на количество витков, в ко-

торых наводится ЭДС, в первичной (N1) и вторичной (N2) обмотках. Если

N1> N2 , то трансформатор понижающий, а если N1< N2 – повышающий.

Если электромагнитные колебания тока и напряжения в цепи обуслов-

лены работой колебательного контура, состоящего из катушки с индуктив-

ностью L и конденсатора емкостьюС, то период колебаний описывается

	формулой Томпсона T = 2p		; циклическая частота w =		1		. При этом
		LC
					LC

заряд конденсатора изменяется гармонически, т.е. по закону синуса или ко-

синуса q = q0 sinw t . Выражение для тока в катушке записывается аналогич-

но: i = i0 sinw t .

79

Типичными случаями использования формулы Томпсона являются следующие: 1) требуется определить, на какую частоту настроен контур, ес-

ли известны значения L и С; 2) какие выбрать L и С, чтобы добиться необхо-

димого значения периода (частоты) колебаний; 3) какова длина электромаг-

нитных волн, излучаемых контуром.

Рассмотрим эти случаи на примерах.

Пример 3.34.

За какой промежуток времени в колебательном контуре с индуктивно-

стью L= 1,5·10-3 Гн и емкостью С = 6·10-9 Ф совершается N = 104 электромаг-

нитных колебаний?

Так как параметры контура известны,

T = 2p 1,5 ×10-3 × 6 ×10-9 = 18,8 ×10-6 = 18,8 мкс.

N колебаний совершится за время t = T·N = 18,8·10-2 = 0,188 с.

Пример 3.35.

Индуктивность катушки колебательного контура 106 Гн. Требуется на-

строить этот контур на частоту 0,5·10-3 Гц. Какова должна быть емкость кон-

денсатора в этом контуре?

1

1

Знаем, что T = 2p LC . Частота f =

=

известна.

T

p

LC

2

Следовательно, f 2

=

1

и C =

1

= 50

пФ.

4p 2 LC

4p 2 Lf

2

Пример 3.36.

Радиопередатчик спутника работает на частотеν = 20 МГц. Какова длина волны, которую он излучает?

Длина волны электромагнитного излучения определяется по формуле l = cT , где с –скорость света, Т – период колебаний. Можно записать:

	l = cT =	c	=	3×108	= 15 м.
		f		20 ×106

80