Методические указания по подготовке к вступительному испытанию по физике [PDF] [22]

их решении следует внимательно анализировать условия: имеет ли место фа-

зовый переход (плавление, испарение) или происходит нагрев (охлаждение)

объекта.

Например, нужно определить, какая температура установится, если к

Vх = 80 л холодной воды, взятой при температуре tх = 10° С добавить Vг = 50

л воды с температурой tг = 80 °С.

Из условия следует, что фазового перехода не происходит; при уста-

новлении температуры смеси θ холодная вода нагревается, получая тепло, а

горячая – охлаждается, отдавая такое же количество теплоты. Составляется уравнение теплового баланса:

cmx (q - t x )= cmг (tг -q ),

где с – удельная теплоемкость, mх и mг – масса холодной и горячей воды со-

ответственно.

mx = rVx = 1000 кг/м3·0,08 м3 = 80 кг

mx = rVг = 50 кг

Преобразовав уравнение теплового баланса, получим

q = mг tг + mx t x = 50 ×80 + 80 ×10 » 37°C

mг + mx

130

Пример 2.13.

Какой мощности Р нагреватель с расчетным КПД η = 80%, может за t = 10 минут нагреть m1 = 5 кг воды от Т1 = 293 К до кипения (Т2) и испарить m2

= 0,5 кг воды?

Если в условии задан КПД, то решение следует начинать в его записи:

h = Qпол ×100 %.

Qзат

Здесь Qпол – полезное количество теплоты. В нашей задаче это тепло,

расходуемое на нагрев и испарение воды

Qпол = cm1(Т 2 - Т 2 )+ r m2

где Т2 = 100°С = 373 K – температура кипения воды, r = 2,3·106 Дж/кг – удельная теплота парообразования воды.

51

Количество теплоты, которое может за указанное время обеспечить на-

греватель, определяется его мощностью и КПД:

Qзатр = P × t =

Qпол

×100

.

h

Отсюда P =

Qпол ×100

или P =

[cm1 (T2 - T1 )+ rm2 ]× 100

h × t

h × t

Подставим имеющиеся данные и получим:

4200

Дж

× 5кг ×80 K + 2,3×106

Дж

× 0,5кг

P =

кг × K

кг

» 5,9кВт

0,80 ×10 × 60 с

Следовательно, чтобы выполнить условие, поставленное в задаче, нуж-

но выбрать нагреватель мощностью 5,9 кВт. (практически не менее 6 кВт).

Пример 2.14.

Сколько дров надо сжечь в печи с КПДη = 40 %, чтобы получить из m

= 200 кг снега, взятого при t1 = – 10 °C воду при t2 = 20 °C? Удельная теплота

сгорания дров составляет q = 10 МДж/кг, а удельная	теплота плавления льда
λ = 330 кДж/кг; удельная теплоемкость снега Сс=2100	Дж/(кг·K).

Процесс нагрева подразделяется на 3 этапа:

-	нагрев снега от t1 до 0°С (	t1 = 10 K);
-	плавление снега;
-	нагрев воды от 0°C до t2 (	t2 = 20 K).

Дальнейший путь решения аналогичен приведенному в примере 1:

h = Qпол ×100 % = 40 %;

Qзат

Qпол = Сс mD t1 + l m + cm D t2 ;

Qзат = qM ,

где М – масса дров, так что

M = (Cc m D t1 + lm + cm D t2 )×100 = 16,5 кг, hq

т.е. необходимо сжечь 16,5 кг дров.

52

Решите самостоятельно.

6) Сколько стали, взятой при температуре20°С, можно расплавить в печи с КПД 50 %, сжигая 2 т каменного угля, если для стали :

удельная теплоемкость сст = 460 Дж/(кг·K);

температура плавления Тпл = 1400 °С;

удельная теплота плавления λ = 82 кДж/кг;

для угля: удельная теплота сгорания q = 29 МДж/кг.

(Ответ: 22 кг)

7) Свинцовая пуля, летящая со скоростью 200 м/с, попадает в земляной вал. На сколько повысится температура пули, если 78 % ее кинетической энергии превратилось во внутреннюю энергию? (сPb = 130 Дж/(кг·K))

(Ответ: на 120 K)

3. Электродинамика

3.1.Электростатика

3.1.1.Сила Кулона, напряженность поля, потенциал

Вэлектростатике рассматриваются ситуации, связанные с накоплением

заряженных тел с электрическими полями других тел. Мерой взаимодействия являются кулоновская сила, значение которой в зависимости от конкретной ситуации записывается в виде

F = k	q1q2	= qE = q	Dj	,
	e R2
			d
где буквами q обозначены взаимодействующие заряды; ε –					относительная
диэлектрическая проницаемость среды;		E – напряженность			поля; R – рас-

стояние между центрами точечных зарядов; разность потенциалов; d – рас-

стояние между обкладками конденсатора.

Если ничего не сказано о значении, то обычно считается что объекты

r

находятся в вакууме или на воздухе, где ε = 1. направление вектора F вдоль

53

линии, соединяющей центры зарядов определяется знаками взаимодейст-

вующих зарядов (притяжением или отталкиванием их).

Другой силовой (векторной характеристикой), показывающей, как поле действовало бы на единичный положительный заряд, помещенный в интере-

сующую нас анализируемую точку поля, является напряженность электри-

	ческого поля. Для поля точечного зарядаq ее значение E = k	q	, где R –
		R2

расстояние от центра заряда до этой точки.

При решении задач на нахождении кулоновской силы или напряженно-

сти поля пользуются принципом суперпозиции, т.е. находят векторную сум-

му напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

E = E1 + E2 + E3 +K

Потенциал является скалярной энергетической характеристикой поля,

для которой тоже применяется принцип суперпозиции, только суммирование

v v v v

проводят алгебраическое (с учетом знаков): j = j1 +j2 +j3 +K.

Потенциальная энергия W заряда q в электрическом поле определяется как

W = qj , где j – потенциал поля в данной точке. Заряд самостоятельно может перемещаться из точки с бóльшим потенциаломj1 , в точку с меньшим потен-

циалом j 2 . При этом поле совершает положительную работу Aполя = q(j1 -j2 ).

Чтобы вернуть заряд на место, действуя против поля, нужно совершить отрица-

тельную работу такой же величины:

Aнад полем = q(j2 - j1 ).

Рассмотрим несколько типичных задач.

Пример 3.1.

Два маленьких одинаковых шарика заряжены: q1 = +q ; q2 = +5q и нахо-

дятся на некотором расстоянии друг от друга. Шарики привели в соприкоснове-

ние и вернули на прежнее место. Как изменится сила их взаимодействия.

54

До			приведения			шаров в	соприкосновение сила их взаимодейств
F = k	q ×5q		= k	5q2	. При	приведении	шаров в соприкосновение заряды из-за
1	r	2		r 2

одинаковости шаров распределяются между ними поровну, суммарный же заряд q + 5q = 6q не меняется из-за выполнимости закона сохранения заряда. Таким образом, после соприкосновения на каждом из шаров будет заряд3q. Сила ново-

го

взаимодействия F = k (3q)2

= k

9q2

. Отношение

новой

силы к

прежней

2

r2

r2

F2

=

9

= 1,8

F1

5

Самостоятельно рассмотрите случай, когда : q1

= +q , а

q2 = -5q .

(Ответ:

F2

= 1,5 )

F1

При решении обеих задач Вы пользуетесь законом сохранения зарядов:

в изолированной системе (заряды в нее не вносятся и из нее не выносятся)

алгебраическая сумма зарядов остается постоянной величиной.

Пример 3.2.

Как изменится сила кулоновского взаимодействия между двумя точеч-

ными зарядами, находящимися в вакууме, если, не изменяя расстояния меж-

ду ними, поместить их в керосин с диэлектрической проницаемостью ε = 2?

Сила взаимодействия между зарядами, находящимися в диэлектрике,

уменьшится в ε раз, так как закон Кулона в диэлектрике имеет вид

F = k q1q2 . В керосине эта сила уменьшится в 2 раза. e r2

Пример 3.3.

Чему равен модуль напряженности электрического поля, если на то-

чечный заряд q = 10-9 Кл, помещенный в некоторую точку поля, действует сила F = 2·108 Н?

55

По определению напряженность поля равна отношению силы, дейст-

вующей на пробный заряд, к величине этого заряда E = F .

						q
	В нашем случае E =	2 ×10-8 H		= 20	В	.
		10	-9 Кл		м

Рассмотрим задачу более сложную, в которой требуется осуществить суммирование напряженностей и потенциалов.

Пример 3.4.

Заряды q1 = q2 = 10 нКл	и q3 = -10 нКл расположены в вершинах
правильного треугольника А,	В и С соответственно. Стороны треугольника

равны 10 см. нужно найти напряженность и потенциал создаваемого ими электрического поля в центре треугольника.

Начнем с определения напряженности поля. Представим, что в точку О помещен единичный положительный заряд, определим напряженности по-

лей, создаваемых q1, q2 и q3 в этой точке, и применим принцип суперпози-

r r r r

ции: Е = Е1 + Е2 + Е3

Результаты векторного суммирования показаны на рис.16.

Рис. 16. Суммирование напряженности электрических полей, создавае-

мых зарядами q1 и q2 в точке О.

Исходя из геометрических условий задачи можно записать:

56

Е

=

Е

2

=

Е

3

= k

q

,

1

R2

так как модули зарядов одинаковы и равны q , то расстояние от вершины до

центра составляют R = 2 a × sin p и тоже одинаковы. 3 3

Суммарная напряженность по модулю равна2 Ei (i = 1, 2, 3). Таким

образом, направление вектора показано на рисунке, а его длина составляет:

E = 2k

q

= 13,5k

q

» 12

кВ

.

4

a2 sin2

p

a2

м

9

3

Теперь определим потенциал в точкеО. Заряды q1 и q2 создают в ней

одинаковые потенциалы j1 = j2

= k

q1,2

= 0,035 B ; заряд q3 создает потенци-

R

ал j1 = - 0,035 B , так что алгебраическая сумма потенциалов вО составляет

+0,035 В.

Пример 3.5.

Заряженные металлические шары, радиусы которых R1 = r и R2 = 2r ,

имеют одинаковую плотность зарядов. Во сколько раз отличаются потенциа-

лы шаров?
Потенциал шара равен j = k								q	,		а заряд q определяется как произведе-
								R
ние плотности			заряда на		площадь						поверхности: q = 4p (2R 2)s . Поэтому
											1
j1 = k	4p r 2s	; j	2 = k	4p × 4 r 2s		и	j2			= 2
	r			2r			j1

Ответ: потенциал второго шара вдвое больше потенциала первого ша-

ра.

Решите самостоятельно.

1) Заряды q1 = 2·10-9 Кл и q2 = 4·10-9 Кл находятся на расстоянии 0,2 м

друг от друга. Каковы напряженность и потенциал в точке А посредине ли-

нии, соединяющей центры зарядов?

(Ответ: 1,8 кВ/м; 5,4 В)

57

3.1.2. Поведение заряженных частиц в электрическом поле.

Под действием электрического поля частицы, несущие заряд q, могут приобретать ускорение или оставаться неподвижными. Так, они ускоряются потенциалов U = Dj , приобретая кинетическую энергию, которую можно

определить по закону сохранения энергии: qU = mV 2 . Отсюда можно найти

2

скорость V, которую приобретет частица массы m.

Если силы, в том числе электрические, действующие на частицу, урав-

новешены, то она остается в покое или совершает равномерное прямолиней-

ное движение. Если же равнодействующая сил отлична от нуля, то частица приобретает ускорение. При этом необходимо учитывать направление векто-

r

ра напряженности поля E (от плюса к минусу). В качестве иллюстрации рас-

смотрим следующие примеры.

Пример 3.6.

Какую скорость приобретет электрон(заряд его обозначим е), пройдя разность потенциалов U = 1 В? Какой энергией он обладает?

По закону сохранения энергии eU = mV 2 ; здесь е = 1,6·10-19 Кл – за-

2

ряд электрона, а m = 9,1·10-31 кг масса электрона.

					2 ×1,6 ×10-19
Отсюда V =		2eU	=			» 5,9 ×1015 м	.
					9,31×10-31
		m				с

Энергия электрона W = eU = 1,6 ×10-19 Дж = 1эВ . Единица «электрон-

вольт» используется в физике. Здесь мы получили ее соотношение с приня-

той в системе СИ единицей энергии «джоуль».

Пример 3.7.

Электрон движется из точки с потенциаломφ вдоль силовой линии со скоростью V. Каков потенциал в точке φ1, в которой он остановится?

Двигаясь вдоль силовых линий, электрон тормозится. В начальный мо-

мент времени его энергия представляет собой сумму кинетической и потен-

58

циальной энергий, в момент остановки она превращается в потенциальную энергию в электростатическом поле

- ej + mV 2 = -ej1

2

Отсюда j1 = j - mV 2 .

2e

Пример 3.8.

Между горизонтальными пластинами воздушного конденсатора нахо-

дится в равновесии пылинка массой m = 10–4 г несущая заряд q = 10-9 Кл. рас-

стояние между пластинамиd = 1 мм. Какова разность потенциалов между ними?

Рис. 17. поведение частицы в однородном электрическом поле.

На пылинку действуют силу тяжести mg и сила кулоновского взаимо-

r

действия qE , уравновешивающие друг друга (рис. 17 ).

Так как E = U , то можно записать q U = mg и найти значение U:

	d				d
	U =	m g d	=	10-4 ×10		-3 ×10-3 ×10	= 1 (В)
		q			10-9

Пример 3.9.

Та же пылинка находится в том же конденсаторе, но разность потен-

циалов уменьшилась до U = 0,5 В. Что произойдет?

59

Сил кулоновского взаимодействия уменьшится, равновесие нарушится и пылинка будет двигаться вниз с ускорением а:

ma = mg - q U1 .

						d
	m - q	U1			м
Это ускорение составит a =		d		= 5		.
	m
					с 2
Пример 3.10.

В тот же конденсатор (см. пример 3.8.) посредине промежутка между пла-

стинами и параллельно им влетает электрон, имеющий энергию W = 100 эВ. На каком расстоянии L от левого края (см. рис. 17) электрон окажется на нижней

пластине?

При решении подобных задач силой тяжести, действующих на элек-

трон, можно пренебречь, но для других, более тяжелых частиц ее необходи-

мо учитывать. Поведение частицы горизонтально влетающей в однородное электрическое поле подобно поведению горизонтально брошенного тела в поле силы тяжести. Она участвует одновременно в движении в горизонталь-

ном направлении			с Vx = const и в вертикальном– как тело с ускорением
a = g ±	F	, где F = e		U	. За время полетаt электрон проходит в вертикальном
	me			d

направлении расстояние

d

, а в горизонтальном – искомое расстояние L = Vx × t .

2

Поскольку V yo = 0 , к моменту падения на нижнюю пластину y =

d

=

at 2

,

2

2

a =

eU

, т.е. t 2 =

d

,

t =

d 2me

» 2,4 нс.

dme

a

eU

За это время электрон пролетит от края пластины расстояниеL = Vx × t :

т.к. электрон, влетая между пластинами конденсатора, имел энергию

W = 100 эВ, то его скорость равна Vx = 5,9·106 м/с (см. пример 3.6.).

Тогда L = 5,9 × 106 × 2,4 × 10-9

= 1,4 × 10-3

м.

60