1.2.9. Закон логарифмического нормального распределения

Логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение – это распределение случайной величины x, распределение логарифма значений которой (t = lnx) подчиняется нормальному закону. Логнормальное распределение имеют характеристики усталостных испытаний материалов и устройств, износостойкости инструмента и др.

Дифференциальная функция распределения случайной величины x описывается следующим уравнением:

, (15)

где – среднее квадратическое отклонение логарифма случайной величины x; - математическое ожидание логарифма случайной величины x.

Интегральная функция распределения вычисляется по формуле

. (16)

2. Методические рекомендации по выполнению анализа статистических данных

Для установления выборочным методом закона распределения случайной величины х и параметров этого распределения объем выборки должен быть достаточно велик (не менее 25-30). При этом, прежде всего, составляют таблицу результатов наблюдения (измерения и т. п.) в порядке их получения в виде фактических значений или в виде отклонения от номинального значения исследуемой величины х. В случае, если значение исследуемой величины получают измерением, то измерения осуществляют измерительным устройством с погрешностью не более 0,2 допуска на контролируемый параметр. Полученные результаты представляют собой первичный материал, анализ которого позволяет установить закон распределения случайной величины и параметры этого распределения. Эта информация в дальнейшем используется для выявления закономерностей поведения или состояния объекта (явления, процесса, устройства и т. п.), характерным параметром которого является исследуемая случайная величина х.

Статистический анализ распределения случайной величины включает в себя следующие процедуры.

1. Выявление наименьшего x_min и наибольшего x_max значений статистических данных. Определение размаха R распределения по формуле

.

2. Сортировка данных в порядке возрастания их значений.

3. Разбиение размаха распределения данных на интервалы (разряды) и вычисление длины интервала. Число таких интервалов должно быть не менее 6-7 при n = 50-100 и не менее 9 - 15 при n > 100. Количество интервалов z можно определить по формуле

,

в которой n – объем выборки. Длина интервала составляет . Следует учитывать, что длина интервала для компенсации погрешности измерения должна превышать величину деления шкалы измерительного устройства, которым производился обмер величины x в выборке.

4. Подсчет частот (число наблюдений) по каждому интервалу и составление таблицы эмпирического распределения. В каждый интервал включаются значения случайной величины x, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно до наибольшего значения интервала, исключая его.

5. Построение эмпирической кривой распределения и определение по ее внешнему виду, к какому теоретическому распределению она приближается.

6. Вычисление статистических характеристик выбранного закона распределения.