УМК по ТВ и МС

										Таблица 9.2
№№		[x	, x	i+1	]	ni	pi	npi	(ni−npi)2			(ni − npi )2
												npi
		i
								1,7
1		94 – 100				3	0,017
						10		7,6	5,76		0,758
2		100 – 106				7	0,059	5,9
3		106 – 112				11	0,141	14,1	9,61		0,682
4		112 – 118				20	0,228	22,8	7,84		0,344
5		118 – 124				28	0,247	24,7	10,89		0,441
6		124 – 130				19	0,182	18,2	0,64		0,035
7		130 – 136				10	0,087	8,7
						12		11,6	0,16		0,014
8		136 – 142				2	0,029	2,9
	Всего					100	0,990	99,0	−		ψcalc = 2,27

9.2.2. Критерий согласия Колмогорова−Смирнова

Критерий согласия Колмогорова−Смирнова проверяет гипотезу о согласии при небольшом объеме выборки, когда Fmod(x, Θ) известна полностью, т. е. известны и параметры модели. Рассмотрим последовательность критерия.

1-й шаг. Формулирование основной H0 и альтернативной H1 гипотез (9.2). 2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики.

В критерии Колмогорова−Смирнова для введения меры отклонения эмпирического и модельного распределений используются статистика вида

Dn = max Fn (x) − Fmod (x,Θ) . В качестве статистмки ψcr используем функцию
x
ψcr = n Dn = n max x Fn (x) − Fmod (x,Θ) .	(9.4)

Предложение 9.1. Какова бы ни была функция распределения Fmod(x, Θ) непрерывной случайной величины ξ, распределение ψcr имеет пределом функ-

∞ 2 2

цию Κ(ψcr ) = ∑(−1)i e−2i ψcr , не зависящую от вида функции Fmod (x,Θ) . #

i=−∞

Если Fmod(x, Θ) задана с точностью до неизвестных параметров Θ и они оцениваются по конечной выборке размера n, то предельное распределение ста-

тистики Dn n уже зависит от Fmod(x, Θ). При этом статистика ψcr будет зави-

сеть только от формы распределения Fmod(x, Θ). Если в модельном распределении есть только параметры сдвига и масштаба, то применимость критерия Кол- могорова–Смирнова корректна.

4-й шаг. Из определения функции распределения следует, что при достаточно большом n и любом ψcr > 0 вероятность того, что Dn n примет значение, меньшее ψcr, будет иметь вид

P{Dn n ≥ ψcr } =1 − Κ(ψcr ) =1 − ∑∞ (−1)i e−2i2ψcr2 = α.

i=−∞

111

Значение ψcr.u при заданном α можно найти в статистических таблицах. Нижняя критическая граница в данном критерии не используется.

5-й шаг. ψcalc определяется из (9.4) подстановкой значений n и Dn, для конкретных эмпирических данных. Если выполняется условие ψcalc ≤ ψcr.u, то гипотеза о согласии эмпирического распределения и модельного принимается.

Замечание 9.5. Для большого объема выборки, ее нужно сгруппировать и значения Fn(x) и Fmod(x, Θ) определять на границах интервалов группирования.

Применение критерия в принципе возможно лишь тогда, когда теоретическая функция распределения Fmod(x, Θ) задана полностью. Но такой случай на практике встречается весьма редко. Обычно из теоретических соображений известен лишь вид функции распределения, а ее параметры определяются по эмпирическим данным.

Пример 9.3. Даны результаты исследования отклонения фактического выпуска продукции (тыс. руб.) от планового (план – 1000 тыс. руб.) 400 предприятий в группированном виде (табл. 9.3). Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью по критерию Колмогорова– Смирнова при α = 0,05.

Таблица 9.3

	Фактический	950-	960-	970-	980-	990-	1000-	1010-	1020-	1030-	1040-
	выпуск	960	970	980	990	1000	1010	1020	1030	1040	1050
	Количество	5	15	60	72	80	60	55	30	20	3
	предприятий

Решение. Параметры нормального закона – математическое ожидание a и

дисперсия σ2 неизвестны,

поэтому заменяем их на выборочную среднюю

x

и

)

2

, равные x =99,45

)

2

=19,026

2

= 361,998. Следо-

выборочную дисперсию σ

и σ

вательно, распределение нормальной модели будет иметь вид

Θ

=

1

−

(x

− 997,45)2

fmod (x,

)

19,026 2π

exp

723,996

,

x	x − 997,45
Fmod (x,Θ) = ∫pξ ( y)dy = FN (x; 997,45;19,03) = 0,5 + Φ				.
		19,03
−∞

1-й шаг. Формулирование основной H0 и альтернативной H1 гипотез (9.2). 2-й шаг. α = 0,05.

3-й шаг. Вид ψcr и ее распределение находим из (9.4) и предложения 9.1. 4-й шаг. Из таблицы значений функции Колмогорова для уровня значимо-

сти α = 0,05 определяем ψcr.u = 1,36.

5-й шаг. Используя данные таблицы 9.4, находим

ψcalc = n max Fn (x) − FN (x; 997,45;19,03) = 400 0,0317 = 0,634 .

x

112

Т.к. ψcalc > ψcr.u, то гипотеза H0 отвергается с ошибкой первого рода α = 0,05. Результаты вычисления статистики ψcalc сведены в табл. 9.4.

			Результаты вычисления ψcalc для примера 9.3																		Таблица 9.4
																		)
[xi , xi 1 ]							x			− x
								i						Fmod (x; x; σ) =										)
			Fn(x)	z =									Φ(zi)							F (x) − F (x; x; σ)
									σ
		+		i					)											n		mod
			0			–∞							–0,5			0						0
–∞ ÷ 960			0,0125		–1,97								–0,4756			0,0244					0,0119
960	÷ 970		0,05		–1,44								–0,4222			0,0778					0,0278
970	÷ 980		0,2		–0,92								–0,3159			0,1841					0,0159
980	÷ 990		0,38		–0,39								–0,1517			0.3483					0,0317
990 ÷ 1000			0,58		0,13								0,0517			0,5517					0,0283
1000	÷ 1010		0,73		0,66								0,2454			0,7454					0,0154
1010	÷ 1020		0,8675		1,18								0,3810			0,8810					0,0135
1020	÷ 1030		0,9425		1,71								0,4564			0,9564					0,0139
1030	÷ 1040		0,9925		2,23								0,4871			0,9871					0,0054
1040 ÷ ∞			1,0				∞						0,5			1,0						0
				9.3. Критерии однородности
Основные гипотезы однородности можно записать в виде:
H F		: F (x) = F (x) =... = F								(x) ;			H a: a = a		2	=... = a ; H			σ: σ2		= σ2	= ... = σ2 .
0		1	2					l					0 1					l	0 1		2			l

Рассмотрим два наиболее распространенных статистических критерия проверки гипотез об однородности анализируемых генеральных совокупностей.

9.3.1. Критерий однородности Смирнова

Пусть имеются две выборки объемами n1 и n2. Элементы каждой выборки независимы, непрерывны и сгруппированы в L интервалов. Проверим, принадлежат ли выборки одной генеральной совокупности. Критерий Смирнова применим если: данные представлены в группированном виде; min(n1 , n2) > 50.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

H0: Fξ (x) = Fη( y) , H1: Fξ(x) ≠ Fη(y) .

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики

L	(µ	i	/ n	− ν	i	/ n	2	)2
ψcr = n1n2 ∑			1						,
			µi + νi
i=1

где µi, νi − количество попаданий в i-й интервал группирования соответственно

L	(µi −νi )	2
первой и второй выборок. Если n1 = n2 = n , то ψcr = ∑			.
	µi +νi
i=1

113

Предложение 9.2. Предельное распределение критической статистики ψcr при неограниченном росте объемов выборок n1, n2 и в условиях справедливости проверяемой гипотезы H0 стремится к χ2−распределению с (L – 1) числом сте-

пеней свободы, т. е. lim F (ψcr) = χ2 (L −1) . #

n1,n2 →∞

4-й шаг. Определение критической точки статистического критерия ψcr.u = χα2 100% (L −1) . Критерий Смирнова является односторонним. Области не-

правдоподобно малых значений статистики ψcr нет. Чем меньше расчетное значение критической статистики, тем более благоприятные условия складываются для принятия гипотезы об однородности двух выборок.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

L	(µ	i	/ n	− ν	i	/ n	2	)2
ψcalc = n1n2 ∑			1						.
			µi + νi
i=1

Если ψcalc ≤ ψcr.u, то гипотеза H0 верна, в противном случае H0 отвергается.

Пример 9.4. В банке в течение двух дней проводилось исследование времени обслуживания клиентов. Данные представлены в табл. 9.5, где µi, νi − времена обслуживания клиентов в первый и второй дни. Проверить однородность двух группированных выборок – времени обслуживания в первый и второй дни по критерию Смирнова при уровне значимости α = 0,1.

Таблица 9.5 Статистические данные времени обслуживания клиентов в банке

Номер интервала	Время обслужива-	µi (1-й день)	νi (2-й день)
группирования i	ния (мин)
1	10 – 12	2	2
2	12 – 14	4	4
3	14 – 16	8	9
4	16 – 18	12	13
5	18 – 20	16	16
6	20 – 22	10	8
7	22 – 24	3	3

Решение. Верхняя критическая точка ψcr.u = χ102 % (6) =10,645 . Расчетное значение критической статистики равно

ψcalc = ∑L	(µi −νi )2	=	(2 −2)2	+	(4 −4)2	+...+	(3 −3)2	= 0,321.
			4		8		6
i=1 µi +νi

Условие ψcalc ≤ ψcr.u выполняется, и H0 верна с ошибкой первого рода 10%.

9.3.2. Критерий Вилкоксона−Манна−Уитни

Критерий Вилкоксона−Манна−Уитни является ранговым и применяется для проверки однородности двух генеральных совокупностей понимаемой в смысле отсутствия различий в значениях параметров положения (средних зна-

114

чений, медиан) соответствующих распределений (но не тождественного совпадения распределений, как в предыдущем критерии). Т.е. проверяется гипотеза типа H0a. Распределения проверяемых генеральных совокупностей неизвестны. Статистические данные должны быть представлены в негруппированном виде. В критерии возможны два случая. Рассмотрим их последовательно.

	Случай А. Пусть имеются две выборки независимых непрерывных случай-
ных величин (x1			,..., xn	) , ( y1,..., yn	2	) , где n1 ≤ 25, n2 ≤ 25 .
			1
	1-й	шаг.	Формирование			основной и альтернативной гипотез
H0: Fξ (x) = Fη( y) , H1: Fξ(x) ≠ Fη(y) .
	2-й шаг. Задание уровня значимости α.						равной ψcr = ∑n1+n2 Ri(1) ,
	3-й шаг. Формирование критической статистики,
									i=1
где	R(1)	− ранги элементов выборки меньшего объема					(n ≤ n	2	) . Суммирование
	i						1

рангов Ri(1) осуществляется по элементам меньшей выборки.

Предложение 9.3. В условиях справедливости гипотезы H0 статистика

ψcr = ∑n1+n2	Ri(1)	при n1 → ∞ и	lim	n1	= c > 0 стремится к нормальному распре-
i=1			n1→∞ n2

делению с математическим ожиданием a = M[ψcr] = n1 (n1 + n2 +1) / 2 и диспер-

сией σ2 = D[ψcr] = n1n2 (n1 + n2 ) /12 #

Для принятия решения об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона−Манна−Уитни необходимо выполнить следующие действия:

1)Проанализировать объемы выборок n1 и n2, сравнить их между собой. Меньшую выборку будем считать первой. Пусть n1 − объем меньшей выборки;

2)Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант. Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, то в общем вариационном ряду первыми записываются варианты меньшей (первой) выборки.

4-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения

Вилкоксона−Манна−Уитни для уровня значимости а находим нижнюю критическую точку ψcr.l = ωα/ 2 (n1,n2 ) , где ωα/ 2 (n1,n2 ) − квантиль распределения Вилкоксона−Манна−Уитни. Верхняя критическая точка равна

ψcr.u= (n1 + n2 +1)n1 − ψcr.l.	(9.5)
5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики ψcalc =
∑n1+n2 Ri(1) осуществляется суммированием рангов Ri(1)	вариант первой выборки
i=1

в общем вариационном ряду. Если выполняется условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u, то гипотеза H0 верна, в противном случае H0 отвергается.

Случай Б. Объем хотя бы одной из выборок больше 25. Отличие данного случая от предыдущего состоит только в вычислении ψcr.l на четвертом шаге:

	(n	+ n		+1)n	−1	− u1−α/ 2	n n		(n	+ n		+1)		,	(9.6)
ψcr.l =	1		2	1			1	2	1		2
				2					12

115

где u1–α/2 − квантиль нормального распределения уровня 1 − α/2.

	Замечание 9.6. u1−α/ 2	можно также находить в виде u1−α/ 2	= arg Φ	1 − α		,
				2

где Φ( ) − функция Лапласа, табличные значения которой известны.

Пример 9.5. Объемы дневных продаж овощных магазинов в двух районах области представлены выборками (табл. 9.6, 9.7) xi, yi, (i =1,...,27) (в тыс. руб.). Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона– Манна–Уитни при уровне значимости α = 0,05.

Таблица 9.6

X:	17	13	22	9	20	9	20	9	22
	20	21	21	22	19	23	14	20	19
	17	11	8	21	10	20	18	11	15

Таблица 9.7

Y:	17	13	22	9	20	10	16	9	21
	15	21	21	22	18	21	15	20	18
	17	11	8	21	17	15	18	11	19

Решение. Поскольку n1 = n2 = 27 > 25 , то воспользуемся алгоритмом для

случая Б. Будем считать первой выборку X. Составим из двух выборок общий вариационный ряд (табл. 9.8), проставляя сразу ранги Rk, ( k =1,..., n1 + n2 ) эле-

ментам объединенного ряда. Принадлежность элемента той или иной выборке обозначим с помощью индекса ранга.

Таблица 9.8

Элемент ряда	8X	8Y	9X	9X	9X	9Y	9Y	10X	10Y
Rk	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Элемент ряда	11X	11X	11Y	11X	13X	13Y	14X	15X	15Y
Rk	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Элемент ряда	15Y	15Y	16Y	17X	17X	17Y	17Y	17Y	18X
Rk	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Элемент ряда	18Y	18Y	18Y	19X	19X	19Y	20X	20X	20X
Rk	28	29	30	31	32	33	34	35	36
Элемент ряда	20X	20X	20Y	20Y	21X	21X	21X	21Y	21Y
Rk	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Элемент ряда	21Y	21Y	21Y	22X	22X	22X	22Y	22Y	23X
Rk	46	47	48	49	50	51	52	53	54

По таблице значений функции Лапласа для α = 0,05 найдем квантиль u1−α/ 2 = argΦ(0,475) =1,96 . Из (9.5), (9.6), получим ψcr.l и ψcr.u:

116

n1,n2 →∞

ψcr.l =	(27 + 27 +1) 27 −1	−1,96	27 27(27 + 27 +1)	= 628,7 ,
	2		12

ψcr.u = (27 + 27 +1) 27 − 628,7 = 856,3 .

Вычислим расчетное значение критической статистики:

n1+n2	R(1)	54	=1 + 3 + 4 +K50 + 51 + 54 = 734 .
ψcalc = ∑		= ∑ R(1)
i=1	i	i
		i=1

Условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u выполняется, следовательно, гипотеза H0 верна.

9.4.Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин

Вобщем случае гипотезы о числовых характеристиках случайных величин

имеют вид: H0: Θ ∆0 , где Θ = (θ1,...,θK ) − некоторый вектор параметров (но

может быть и скаляром, т.е. Θ = θ1 ), а ∆0 − область конкретных значений этих

параметров, которая может состоять из точки. Рассмотрим некоторые из критериев проверки гипотез о числовых характеристиках случайных величин.

9.4.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях

Пусть имеются две выборки ( x1,..., xn1 ), ( y1,..., yn2 ) случайных величин ξ и

η из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания aξ и aη этих случайных величин известны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.

1-й шаг. Формирование основной H0 и альтернативной H1 гипотез:

H0: σξ2 = ση2 , H1: σξ2 ≠ ση2 .

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики. В качестве меры различия дисперсий σξ2 и ση2 выбираем величину ψcr = σξ2 / ση2 .

Предложение 9.4. Предельное распределение статистики ψcr как случайной величины в случае справедливости гипотезы H0 стремится к F−распределению Фишера F(n1, n2) с n1 и n2 числом степеней свободы

lim Fψкр (x) = F (n1 −1,n2 −1) . #

4-й шаг. Определение критических границ.

Верхняя критическая граница определяется как процентная точка распре-

деления Фишера уровня α/2: ψcr.u = Fα/ 2100% (n1,n2 ) . Для F−распределения нижняя критическая точка может быть найдена из выражения

ψcr.l = F(1−α/ 2) 100% (n1,n2 ) = 1/ψcr.u.

Значение процентной точки Fα/ 2100% (n1,n2 ) находится из таблиц. 5-й шаг. Расчетное значение критической статистики равно:

117

			1			n1
	)2					∑(xi − aξ )2
				n
	σξ					i=1
ψcalc =	)2	=	1					.	(9.7)
			1			n
	ση				2		2
						∑( yi − aη)
			n2 i=1

Если выполняется условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u, то H0 верна с ошибкой первого рода α, в противном случае H0 отвергается.

Пример 9.6. Для данных примера 9.4. проверить, можно ли на уровне значимости α = 0,01 считать одинаковыми отклонения от среднего времени обслуживания клиентов банка в первый и второй дни, если известно, что

M[ξ] = mξ =17,8 , M[η] = mη =17,6 , n1 = n2 = 55.

Решение. Предварительно найдем σ)ξ2 = 8,38, σ)η2 = 8,14 .

1-й шаг. H0: σξ2 = ση2 , H1: σξ2 ≠ ση2 .

2-й шаг. α = 0,01. 3-й шаг. ψcr = σξ2 / ση2 .

4-й шаг. Находим, используя таблицу процентных точек распределения Фишера, верхнюю и нижнюю критические границы:

ψcr.u = F0,5%(55; 55) = 2,024; ψcr.l = 1/2,024 = 0,494.

5-й шаг. Определяем по (9.8) расчетное значение критической статистики:

ψcalc = 8,38/8,14 = 1,03.

Поскольку условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u выполняется, то H0 принимается.

9.4.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях

Пусть имеются две выборки ( x1,..., xn1 ), ( y1,..., yn2 ) случайных величин ξ и

η из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания aξ и aη этих случайных величин неизвестны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.

1-й шаг. Формирование гипотез: H0: σξ2 = ση2 , H1: σξ2 ≠ ση2 . 2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Выбор критической статистики ψcr = σξ2 / ση2 .

Предельное распределение статистики ψcr при неизвестных aξ и aη стре-

мится к распределению Фишера:	lim Fψcr (x) = F (n1 −1,n2 −1) .
	n1,n2 →∞
4-й шаг. Определение критических границ. Соответственно верхняя и
нижняя критические точки равны:
ψcr.u = Fα / 2 100% (n1 −1,n2 −1) ,	ψcr.l = F(1−α/ 2)100% (n1 −1,n2 −1) = 1/ψcr.u.

5-й шаг. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения

118

1

n1

s2

∑(x

i

− x)2

ψcalc =

n −1 i=1

.

(9.8)

x

=

1

2

1

n

sy

2

2

∑( yi − y)

n2 −1 i=1

Если выполняется условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u, то H0 верна с ошибкой первого рода α, в противном случае H0 отвергается.

Пример 9.7. Для данных примера 9.4 проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях aξ и aη для α = 0,1.

Решение. Поскольку aξ и aη неизвестны, то определим по исходным данным их оценки: a)ξ = x =17,84 , a)η = y = 17,65 . Далее, используя оценки матема-

тических ожиданий, вычислим несмещенные оценки: sx2 =8,55 , s2y =8,30.

Находим, используя таблицу процентных точек распределения Фишера, верхнюю и нижнюю критические границы:

ψcr.u = F5%(54; 54) = 1,571; ψcr.l = 1/1,571 = 0,637.

Определяем по (9.8) расчетное значение критической статистики:

ψcalc = 8,55/8,30 = 1,03.

Поскольку условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u выполняется, то H0 принимается.

9.4.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях

Такая задача ставится обычно тогда, когда выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо ли это различие?

Пусть даны две выборки ( x1,..., xn1 ), ( y1,..., yn2 ) из нормальных генераль-

ных совокупностей случайных величин ξ и η, и известны их дисперсии. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.

1-й шаг. Формирование гипотез H0: aξ = aη , H1: aξ ≠ aη .

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики и определение ее закона

распределения при n1 → ∞, n2 → ∞ : ψcr =				aξ	− aη			.
			σ2	/ n
					+ σ2 / n
			ξ	1	η		2
Предложение 9.5. Предельное распределение статистики ψcr при извест-
ных σ2	и σ2	стремится к нормальному распределению					lim F			(x) = N(0,1)	. #
ξ	η						n1,n2 →∞		ψcr
4-й шаг. Верхняя и нижняя критические точки соответственно равны:
ψcr.u = u1−α/ 2 ,		ψcr.l = −ψcr.u, где u1−α/ 2 − квантиль стандартного нормального

распределения уровня 1 − α/2.

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

119

u1−0,05 / 2

ψcalc =		a)ξ − a)η						.	(9.9)
	σ2	/ n + σ2				/ n	2
	ξ	1	η

и принятие решения. Если выполняется условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u, то гипотеза H0 принимается. В противном случае H0 отвергается с ошибкой первого рода α.

Замечание 9.7. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве aξ и aη можно применять и при отклонении распределения случайных величин ξ и η от нормального, но при условии, что n1 и n2 больше 30.

Пример 9.8. Для данных примера 9.4 проверить для уровня значимости α = 0,05 гипотезу о равенстве математических ожиданиях aξ и aη при условии, что дисперсии известны и равны σξ2 =8,65 и ση2 = 8,12 .

Решение. Оценки математических ожиданий определим по исходным выборкам: a)ξ = x =17,84 , a)η = y = 17,65 . Находим, используя таблицу функции

Лапласа, верхнюю и нижнюю критические границы:

ψcr.u = = arg Φ(0,475) = 1,96 , ψcr.l = −1,96.

Определяем по (9.9) расчетное значение критической статистики:

ψcalc =	17,84 −17,65	= 0,34 .
	8,65 / 55 +8,12 / 55

Поскольку условие ψcr.l ≤ ψcalc ≤ ψcr.u выполняется, то H0 не отвергается.

9.4.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при неизвестных дисперсиях

Пусть имеются две выборки ( x1,..., xn1 ), ( y1,..., yn2 ) из нормальных гене-

ральных совокупностей случайных величин ξ и η. Требуется проверить гипотезу о равенстве aξ и aη.

1-й шаг. Формирование гипотез H0: aξ = aη , H1: aξ ≠ aη .

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики

			aξ − aη
ψcr =								n n	2 .
								1
		)				)
	(n			+ (n				n1 + n2
		−1)σ2			2	−1)σ2
1			ξ			η

n1 + n2 − 2

Предложение 9.6. Предельное распределение статистики ψcr стремится к t−распределению Стьюдента с (n1 + n2 − 2) числом степеней свободы:

lim Fψcr (x) = t(n1 + n2 − 2) . #

n1,n2 →∞

4-й шаг. Верхняя и нижняя критические точки определяются по формулам:

ψcr.u = tα/ 2 100% (n1 + n2 − 2) , ψcr.l = −ψcr.u,

120