УМК по ТВ и МС

Определение 4.2. Распределение случайных величин абсолютно непрерывным, если существует функция pξ1 ...ξn

1)	x1,..., xn R pξ1 ...ξn (x1,..., xn ) ≥ 0 ;
	∞	∞
2)	∫ ... ∫ pξ1 ...ξn (x1,..., xn )dx1...dxn =1;
	−∞	−∞

ξ1, … , ξn называется (x1,..., xn ) такая, что

x	x
3) x1,..., xn R ∫1	... ∫n pξ1 ...ξn ( y1,..., yn )dy1...dyn = Fξ1 ...ξn (x1,..., xn ) .	(4.1)
−∞	−∞

Функция pξ1...ξn (x1,..., xn ) , обладающая перечисленными свойствами, называется

совместной плотностью распределения набора случайных величин ξ1,..., ξn .

Следствие			4.1. В тех				точках (x ,..., x	n	) Rn , в которых плотность
							1
pξ1 ...ξn (x1,..., xn ) непрерывна, верна формула
	∂n F	(x ,..., x		n	)
	ξ1 ...ξn	1				= pξ1 ...ξn	(x1,..., xn ) .		(4.2)
	∂x1...∂xn

∞

Можно показать, что pξ1 ...ξn−1 (x1,..., xn −1) = −∞∫ pξ1 ...ξn (x1,..., xn )dxn .

4.1.1. Двумерная случайная величина

Рассмотрим частный случай – двумерную случайную величину (ξ; η). Функцией распределения Fξη(x, y) случайной величины (ξ ;η) назовем Fξη(x, y) =

P(ξ < x, η < y), т.е. Fξη(x, y) − вероятность попадания точки (ξ; η) в левый нижний бесконечный квадрат плоскости Оxy с вершиной в точке (x, y).

Рис. 4.1.

Свойства Fξη(x, y):

1)0 ≤ Fξη(x, y) ≤ 1;

2)Fξη(x, − ) = Fξη(− , y) = Fξη(− , − ) = 0;

61

3)Fξη(+ , + ) = 1;

4)Fξη(x, + ) = Fξ(x);

5)Fξη(+ , y) = Fη(y);

6)Fξη(x, y) − функция неубывающая.

7)P{(ξ; η) D} = Fξη(c; d) − F(a; d) − F(c; b) + F(a; b).

Случайная величина (ξ; η) называется дискретной, если ξ и η − дискретные случайные величины. Простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины является таблица распределения, т.е. перечень возможных значений (хi; yi) и их соответствующих вероятностей pij = P(ξ = хi; η = yj), где i = 1; ... ; n; j = 1; ..., m.

					n m
Условие нормировки: ∑∑ pi j =1. Тогда можно найти:
					i=1 j =1
			n			n			m						m
P(ξ = хi) = ∑ P(ξ = xi ;η = y j ) = ∑ pi j , P(η = yj) = ∑ P(ξ = xi ;η = y j ) = ∑ pi j .
			j=1			j=1			i=1						i=1
	η		y1		y2	...			yj			...			yn
ξ
x1			p11		p12	...			p1j			...			p1n
x2			p21		p22	...			p2j			...			p2n
...			...		...	...		...				...			...
xi			pi1		pi2	...			pij			...			pin
...			...		...	...		...				...			...
xm			pm1		pm2	...			pmj			...			pmn
Пример 4.1. Дано распределение двумерной случайной величины
				η	26		30		41			50
		ξ
		2,3			0,05		0,12		0,08			0,04
		2,7			0,09		0,30		0,11			0,21

Найти законы распределения составляющих случайных величин ξ и η.

Решение.

ξ	2,3	2,7
Р	0,29	0,71

Действительно,

P(ξ = 2,3) = P(ξ=2,3;η=26) + P(ξ=2,3;η=30) + P(ξ=2,3;η=41) + P(ξ=2,3;η=50) = = 0,05 + 0,12 + 0,08 + 0,04 = 0,29; аналогично найдем Р(ξ = 2,7) = 0,71.

η	26	30	41	50
P	0,14	0,42	0,19	0,25

Действительно, Р(η = 26) = Р(ξ=2,3; η=26)+Р(ξ=2,7; η=26) = 0,05+0,09 = 0,14;

62

Р(η = 30) = Р(ξ=2,3; η=30)+Р(ξ=2,7;η=30) = 0,12+0,30 = 0,42; аналогично найдем Р(η = 41) = 0,19 и Р(η = 50) = 0,25.

4.1.2. Условные законы распределения двумерной дискретной случайной величины

По теореме умножения вероятностей

P(ξ = хi; η = yj) = P(ξ = хi) P(η = yj / ξ = хi) , то

P(η = yj / ξ = хi) = P(ξ = xi ;η = y j ) .

P(ξ = xi )

Аналогично, т.к. P(ξ = хi; η = yj) = P(η = yj) P(ξ = хi / η = yj), то

	P(η = yj / ξ = хi) =	P(ξ = xi ;η = y j )	.
		P(η = y j )

Условным распределением дискретной случайной величины ξ при η = уj назовем перечисление возможных значений случайной величины ξ и их соответствующих условных вероятностей. Аналогично определяется условное распределение дискретной случайной величины η при ξ = хi.

Пример 4.2. Дано распределение двумерной случайной величины

	η	3	6
ξ
10		0,25	0,10
14		0,15	0,05
18		0,32	0,13

Найти: а) законы распределения составляющих ξ и η; б) условный закон распределения η при условии, что ξ = 10; в) условный закон распределения ξ при условии, что η = 6, и М[ξ / η = 6].

Решение. Закон распределения ξ:

		ξ		10			14			18
		Р		0,35			0,20			0,45
Закон распределения η:
		η				3			6
		Р				0,72			0,28

Условный закон распределения η при условии, что ξ = 10. Найдем

P(η = 3 / ξ = 10)=	P(ξ =10,η = 3)	=	0,25	=	5	;
	P(ξ =10)		0,35		7

63

	P(η = 6 / ξ = 10) =	P(ξ =10,η= 6)	=	0,1	=	2
		P(ξ =10)		0,35		7

Отсюда, условный закон распределения η при условии, что ξ = 10, имеет вид

		η						3			6
		P(η / ξ = 10)						5/7			2/7
Условный закон распределения ξ при условии, что η = 6, имеет вид
													18
		ξ				10			14
	P(ξ / η = 6)					10/28			5/28				13/28
Действительно, P(ξ = 10 / η = 6)=						P(ξ =10,η= 6) =					0,10	=	10 .
						P(η= 6)					0,28		28
Аналогично найдем P(ξ = 14 / η = 6) = 5/28 и P(ξ = 18 / η = 6) = 13/28.
M[ξ / η = 6] = 10 10 +14				5		+18 13		= 404 ≈14,43.
				28
28						28		28

4.2. Математическое ожидание функции от случайных величин

Предложение 4.2. Пусть g: Rn → R − некоторая функция, зависящая от n переменных. Тогда

∞	∞
M [g(ξ1,..., ξn )]= ∫ ... ∫ g(x1,..., xn ) pξ1 ...ξn (x1,..., xn )dx1...dxn . #
−∞	−∞

Математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда интеграл сходится абсолютно. Из предложения 4.2 вытекает, в частности, что

M [ξ1ξ2 ]= ∫∫ x1x2 pξ1ξ2 (x1, x2 )dx1dx2 .

R2

Теперь ясно, как вычислять ковариацию: cov(ξ1,ξ2 ) = M [ξ1ξ2 ]− M[ξ1 ] M[ξ2 ].

Для абсолютно непрерывных случайных величин верны: - свойство линейности математического ожидания

M[c1ξ1 +... + cnξn ]= c1M [ξ1] +... + cn M [ξn ] ;

-формула для дисперсии суммы

D[ξ1 +... +ξn ] = D[ξ1 ] +... + D[ξn ] + 2 ∑cov(ξi ,ξ j ) .

1≤i< j≤n

4.3. Независимость случайных величин

Следующее определение обобщает понятие независимости, данное в § 2.9, на случай произвольных случайных величин.

64

Определение 4.3. Случайные величины ξ1, … , ξn называются независимы-

ми, если x1,..., xn Fξ1 ...ξn (x1,..., xn ) = Fξ1 (x1 )...Fξn (xn ) .

Следствие 4.2. Случайные величины ξ1, … , ξn с абсолютно непрерывным распределением являются независимыми тогда и только тогда, когда

pξ1 ...ξn (x1,..., xn ) = pξ1 (x1)...pξn (xn ) .

Предложение 4.3. Если ξ1 и ξ2 независимы, то для любой пары интервалов B1 = (a1,b1 ] и B2 = (a2 ,b2 ] верно равенство

P{ξ1 B1, ξ2 B2 }= P{ξ1 B1} P{ξ2 B2 }. #

Такое же утверждение имеет место для любого конечного числа случайных

величин B1 = (a1,b1 ], … , Bn = (an ,bn ]:

P{ξ1 B1,..., ξn Bn} = P{ξ1 B1}...P{ξn Bn}.

Предложение 4.4. Если ξ1, … , ξn − независимые абсолютно непрерывные случайные величины, у которых существует математическое ожидание, то

M [ξ1...ξn ]= M [ξ1 ]...M [ξn ] .

Доказательство. Доказательство просто – последовательно применяем

предложение 4.2, следствие 4.2 и определение 3.8:

∞	∞
M [ξ1...ξn ]= ∫ ... ∫x1...xn pξ1...ξn (x1 ,..., xn )dx1...dxn			=
−∞	−∞
∞	∞
= ∫ ... ∫x1...xn pξ1 (x1 )... pξn (xn )dx1...dxn			=
−∞	−∞
∞		∞
= ∫	x1 pξ1	(x1)dx1 ... ∫xn pξn (xn )dxn = M[ξ1]...M[ξn ].
−∞		−∞

Следствие 4.3. Если ξ1, … , ξn − независимы, то

D[ξ1 +... + ξn ]= D[ξ1 ] +... + D[ξn ] .

Доказательство. Достаточно показать, что i ≠ j cov(ξi ,ξ j ) = 0 . Это, в свою очередь, следует из предложения 4.4.

4.4. О некоррелированных зависимых случайных величинах

Ниже рассмотрим пример, показывающий, что некоррелированность и независимость не являются эквивалентными понятиями. Логически этот параграф

продолжает обсуждение, начатое в § 2.10.
Рассмотрим случайную величину ξ, равномерно распределенную	на
[−π, π], и случайные величины η1 = cos ξ и η2 = sin ξ. Покажем,	что
cov(η1 ,η2 ) = 0 , но случайные величины η1 и η2 зависимы:

65

		π									1													π				1
M[η1 ] = ∫				cos x									dx = 0, M[η2 ] =											∫ sin x							dx = 0 ,
											2π
		−π																						−π			2π
				π														1			1			π
M[η1η2 ] = ∫ (cos x sin x)																			dx =					∫sin 2xdx = 0 .
																					4π
				−π													2π							−π
Тем самым,		cov(η1 ,η2 ) = 0 и некоррелированность установлена.
Рассмотрим теперь интервалы																					B			= 0,	1					и		B	= 0, 1					, и покажем, что
																					1											2
																										2								2
P{η1 B1, η2 B2} ≠ P{η1 B1} P{η2 B2}. Действительно,
P η		0,		1					=		P ξ				−			π ,− π U						π , π	=					1		2 π =				1	,
1																														2π			6 6
				2														2 3						3 2
P η		0,		1					= P ξ						0, π U					5π		,		π =		1			2 π =					1	,
2																										2π						6 6
				2														6 6
P η		0,		1		,η				2	0,			1				= P{ } = 0.
1
				2										2
Так как 0 ≠		1		1 , то η1 и η2 − зависимые случайные величины.
		6		6

Замечание 4.2. Мы рассмотрели пример случайных величин, которые, оче-

видным образом, являются функционально зависимыми: (η1 (ω))2 =1 − (η2 (ω))2 ,

но их коэффициент корреляции равен нулю: ρ(η1,η2 ) = 0 . Это резко контрастирует со случаем линейной зависимости между случайными величинами, которая имеет место тогда и только тогда, когда ρ(ξ, η) = 1 (см. § 2.10). Таким обра-

зом, можно сказать, что коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости между случайными величинами.

4.5.Преобразования случайных величин

4.5.1.Преобразования одной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина ξ имеет функцию Fξ(x) и плотность pξ(x) распределения. Построим с помощью функции g : R → R случайную

величину η = g(ξ). Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения η.

Замечание 4.3. Плотность распределения случайной величины η = g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочнопостоянна, то случайная величина η имеет дискретное распределение, и плотность ее распределения не существует. Плотность распределения pη(x) заведомо существует, если, например, функция g монотонна («строго монотонна»).

66

Предложение 4.5. Пусть ξ имеет функцию Fξ(x) и плотность pξ(x) распределения, и функция g : R → R монотонна. Тогда случайная величина η = g(ξ) имеет плотность распределения

pη(x) =		(g −1 (x))′		pξ (g −1 (x)),	(4.3)

где g −1 ( ) − функция, обратная к g. #

Можно показать, что для нахождения числовых характеристик случайной величины η = g(ξ) достаточно лишь знание закона распределения аргумента:

∞
M[η] = M[g(ξ)] = ∫g(x) pξ (x)dx ,	(4.4)
−∞
D[η] = D[g(ξ)] = ∞∫(g(x) − M[η])2 pξ (x)dx .	(4.5)
−∞

Пример 4.3. Найти плотность вероятности случайной величины η = aξ + b ,

где a ≠ 0 , ξ имеет функцию Fξ(x) и плотность pξ(x) распределения.

Решение. Согласно предложению 4.5 имеем:

ξ =

η − b

g −1 (x) =

x − b

, тогда

(g −1 (x))′ =

1

, отсюда по формуле (4.3)

a

a

a

плотность вероятности случайной величины η = aξ + b равна

pη(x) =

1

pξ (g −1 (x))=

1

pξ

x − b

.

a

a

a

Пример 4.4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины η = 2 − 3sin ξ,

если плотность распределения случайной величины ξ

есть pξ (x) =

1

cos x на отрезке −

π

, π .

2

2

2

Решение. Используем формулы (4.4), (4.5):

π/ 2

1

M[η] = ∫ (2 − 3sin x)

cos xdx = 2 ,

−π/ 2

2

D[η] = M[η2 ] − (M[η])2 = π∫/ 2

(2

− 3sin x)2

1

cos xdx − 22 = 7 − 4 = 3 .

2

−π/ 2

Рассмотрим дискретную случайную величину ξ с рядом распределения

ξ

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

Если различным возможным значениям случайной величины ξ соответствуют различные значения случайной величины η, то вероятности соответст-

67

вующих значений случайных величин ξ и η равны, т.е. если Р(ξ = хi) = pi, то и

P(η = ϕ(xi)) = pi .

Пример 4.5. Пусть имеем дискретную случайную величину ξ

	ξ	−2	3	5
и η = ξ2, то	Р	0,3	0,6	0,1
	η	4	9	25
	P	0,3	0,6	0,1

Если различным возможным значениям случайной величины ξ соответствуют значения η, среди которых есть равные между собой, то вероятности повторяющихся значений случайной величины η равны суммам вероятностей соответствующих значений случайной величины ξ.

Пример 4.6. Найти ряд распределения случайной величины η = ξ2, если

	ξ		−2			1			2			3
	Р		0,1			0,3			0,2			0,4
Решение.	Поскольку				P(η = 4) = P(ξ = −2) + P(ξ = 2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;
P(η = 1) = P(ξ = 1) = 0,3;			P(η = 9) = P(ξ = 3) = 0,4; то
			η		1			4			9
			P		0,3			0,3			0,4

4.5.2. Композиция законов распределений

Многие важные случайные величины представляются в виде сумм независимых слагаемых. Нижеследующее утверждение устанавливает, как распределение суммы связано с распределениями слагаемых. Вид закона распределения суммы случайных величин не совпадает с законами распределения слагаемых.

Определение 4.4. Композицией законов распределений называется преобра-

зование, по которому можно получить закон распределения суммы случайных величин на основе совместного закона распределения случайных величин.

Предложение 4.6. Пусть случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и абсолютно непрерывны с плотностями pξ1 (x) и pξ2 (x) . Тогда

	∞
pξ1+ξ2	(x) = ∫pξ1 ( y) pξ2 (x − y)dy . #	(4.6)
	−∞

68

Замечание 4.4. Если f и g − абсолютно интегрируемые функции на R, то определена операция свертки функций f и g:

∞

( f g)(x) =& ∫ f ( y)g(x − y)dy .

−∞

Таким образом, предложение 4.6 гласит, что если ξ1 и ξ2 независимые случайные величины, имеющие плотность, то pξ1+ξ2 (x) = ( pξ1 pξ2 )(x) .

Предложение 4.7. Сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин имеет нормальное распределение. #

Рассмотрим часто используемые, функции от случайных величин.

Пример 4.7. (Композиция равномерных распределений). Даны независимые равномерно распределенные случайные величины ξ1 и ξ2 с параметрами l1 и l2. Требуется найти: а) совместный закон распределения случайных величин ξ1 и ξ2; б) закон распределения случайной величины ξ = ξ1 + ξ2.

Решение. Так как случайные величины ξ1 и ξ2 − независимые, то, учитывая следствие 4.3, совместная плотность распределения имеет вид:

								1		x1 [0,l1 ], x2 [0,l2 ],
pξ			(x1	, x2 ) = pξ	(x1 ) pξ				,
	,ξ						(x2 ) = l l			в противном случае.
1		2		1		2		1 2
								0,

Пусть для определенности l1 ≤ l2. Тогда, согласно (4.6), плотность суммы

						x		,		0 < x ≤ l1,
						l l
					1 2
	∞					l
pξ1+ξ2	(x) = ∫	pξ1 ( y) pξ2	(x − y)dy =			1		,		l1 < x ≤ l2 ,
	−∞					l1l2
			l1		+l2		− x		,	l2 < x ≤ l1 +l2 .
						l l
					1 2

Пример 4.8. (Композиция нормальных законов распределений). Применив аналогичные как в примере 4.5 рассуждения, получим, что плотность распреде-

ления суммы случайных величин ξ1 ~ N(a1, σ12 ) и ξ2 ~ N(a2 , σ22 ) равна

∞

1 x−a 2

(x) = ∫pξ1 ( y) pξ2 (x − y)dy =

1

−

pξ1+ξ2

e

2

σ

= N(a,σ2 ) ,

−∞

2πσ

где a = a + a

, σ2

= σ2

+ σ2

+ 2ρ

ξ ξ

σ σ

2

, т.е.

композиция нормальных законов

1

2

1

2

2

1

1

распределения снова приводит к нормальному закону распределения.

Пример 4.9. (Распределение χ2−Пирсона). Распределением χ2−Пирсона с n

степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин:

69

	n	ξi ~ N (0,1) .
χ2	(n) = ∑ξi2 ,

i=1

Плотности распределения случайных величин χ2(n) имеют вид:

			1				n	−1	−	x	, x ≥ 0,
						x 2		e	2
		n
			n
f (x) =
	2	2 Γ
			2
					0,						x < 0,

∞

где Γ( p) = ∫e−z z p−1dz − гамма-функция.

0

Пример 4.10. (Распределение Стьюдента). Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшемся под псевдонимом «Стьюдент». Закону распределения Стьюдента с n степенями свободы удовлетворяет отношение

	t(n) =		ξ	,
		χ2	(n) / n

где ξ − стандартная нормальная случайная величина, независимая от χ2. Плотность распределения Стьюдента равна

n + 1

n+1

Γ

x

2

−

2

2

pt(n) (x) =

+

n

1

n

.

Γ

πn

2

При n → ∞ плотность распределения Стьюдента сходится к плотности стандартной нормальной случайной величины.

Пример 4.11. (Распределение Фишера). F−распределением Фишера с (m,n) степенями свободы называется распределение случайной величины, равное

	F(m, n) =	χ2	(m) / m		.
		χ2		(n) / n

4.6. Многомерное нормальное распределение

Важнейшим примером совместного распределения нескольких случайных величин является многомерное нормальное распределение. Оно играет важную роль в теории вероятностей и часто возникает в различных приложениях.

Определение 4.5. Говорят, что набор случайных величин ξ = (ξ1,..., ξn )

имеет многомерное нормальное (или гауссовское) распределение, если найдутся вещественный вектор a = (a1,...,an ) , невырожденная вещественная n n − мат-

70