УМК по ТВ и МС

Составьте закон распределения, найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины: Z = (X – 1)2.

5.3. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y

X	-1	0	1	,	Y	1	2
p	0,3	0,5	0,2		p	0,4	0,6

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X2Y3.

5.4. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения:

X	Y	2	3	4
2		0,3	0,15	0,05
3		0,15	0,10	0,05
4		0,05	0,05	0,05
5		0,05	0	0

Найти законы распределения составляющих X и Y, кковариацию и коэффициент корреляции.

5.5. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет плотность распределения вероятностей

pX ,Y (x, y) = π2 (16 + x2c)(25 + y2 ) .

Требуется: а) определить величину с; б) вычислить вероятность того, что X и Y примут соответственно значения X< 4, Y< 5; в) найти функцию распределения

F(x, y)

6.Предельные законы теории вероятностей

6.1.Вероятность ошибки в каждом из ста счетов равна 0,2. Найти: а) вероятность того, что ошибки имеются в 20 счетах; б) вероятность того, что число счетов с ошибками заключено от двадцати до тридцати.

Указание: использовать локальную и интегральную теоремы Муавра– Лапласа.

6.2.Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100.

Указание: использовать неравенство Чебышева.

171

6.3.Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью неменьшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,9 не превысит 0,01?

Указание: использовать теорему Бернулли.

6.4.При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Указание: использовать теорему Бернулли.

6.5.Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

Указание: использовать теорему Чебышева.

6.6.Cколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства m/n – p ≤ 0,06 превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испытании р = 0,7?

Указание: использовать теорему Бернулли.

6.7.Для определения средней продолжительности горения электролампы в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по модулю меньше чем на 5ч, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7ч.

Указание: D[X] < 49.

6.8.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?

Указание: использовать интегральную теорему Муавра–Лапласа.

6.9.Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

Указание: использовать локальную теорему Муавра–Лапласа.

7.Цепи Маркова

7.1.Вероятности перехода за один шаг в цепях Маркова задаются матрицей

172

	0	2 / 3	1/ 3	0
		0	1/ 2
P = 1/ 4				1/ 4 .
	0	0	2 / 3
				1/ 3
	0	0	1/ 2	1/ 2

Требуется: а) найти число состояний; б) установить, сколько среди них существенных и несущественных; в) построить граф, соответствующий матрице P.

7.2. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид

	0,2	0,3	0,5
P =		0,2
	0,5		0,3 .
		0,1
	0,6		0,3

Распределение по состояниям в момент времени t = 0 определяется вектором (0,6;0,1;0,3) . Найти распределения по состояниям в момент t = 2.

8.Основные понятия выборочного метода

8.1.Результаты обследования роста рабочих приведены в таблице.

	Рост,	148−154	154−160	160−166	166−172	172−178	178−184	184−190	190−196
	см.
	Число	3	34	185	382	290	92	13	1
	рабочих

Требуется найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины Х (роста рабочих).

8.2. Обзор счетов 400 инвесторов на фондовой бирже дал следующую информацию о числе сделок в течение последнего квартала:

Число сделок, X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число держателей
финансовых инст-	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	2
рументов

а) Найдите вероятность того, что случайно выбранный инвестор произвел ноль сделок; по крайней мере, одну сделку; больше пяти; меньше шести.

б) Найдите математическое ожидание и дисперсию числа сделок. в) Постройте график распределения.

8.3. Для имеющейся совокупности опытных данных (выборки) требуется: а) построить интервальный статистический ряд и гистограмму распределения; б) вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение; в) выбрать теоретический закон распределения; г) построить теоретическую кривую распределения.

173

15,2	17,6	08,5	11,6	11,5	14,6	10,9	25,0	12,3	16,3
19,2	20,1	20,1	20,4	11,9	19,8	17,6	14,3	12,6	20,6
10,0	07,6	21,5	03,6	19,6	16,8	14,9	17,6	11,3	10,7
16,2	12,2	15,8	23,8	11,3	07,0	19,1	16,2	15,2	16,2
14,5	05,4	09,3	22,6	17,7	09,0	16,2	16,6	17,4	17,4
17,3	11,9	16,3	17,1	14,7	23,6	14,2	13,9	12,2	18,6
12,7	17,7	09,8	18,1	19,0	07,0	17,3	13,4	14,8	09,8
13,8	12,6	26,5	19,4	11,7	17,4	16,4	13,7	22,2	11,9
18,2	11,3	18,4	12,7	18,4	17,2	14,2	12,0	17,4	21,9
12,4	19,0	16,3	20,1	07,0	09,6	12,5	12,4	11,8	13,0

9.Точечное и интервальное оценивание параметров распределения

9.1.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое откло-

нение σ = 4, выборочная средняя x =10,2 и объем повторной выборки n = 16.

9.2. Имеется выборка объема n = 13 из некоторой генеральной совокупности; исследуемый количественный признак Χ этой совокупности распределен нормально. По этой выборке найдены выборочная средняя x = 0,2 и выборочная

дисперсия sx2 = 0,48. Найти доверительный интервал, покрывающий параметр a с надежностью 0,95.

9.3. По результатам 20 измерений получим x =115 м., sx2 = 4м2. Найти точность измерений с надежностью 0,95.

10.Проверка статистических гипотез

10.1.Дана выборка объёма n = 100: 3,5 9 8,6 0,9 8,2 5,7 11 8,8 9,1 11 13 3,9 5 3,6 8,7 12 5,6 10 5 8,3 8,5 8,1 12 -1 12 0,6 1,6 3,4 8,8 2,5 3,8 7,9 8,5 12 4,9 2,9 0 6,2 5,5 4,2 12 1,1 16 2,5 11 8,7 8,6 4 4,6 8,4 6 5,8 7 7,6 13 6,9 3,3 6,2 12 6,8 8,6 5,2 5,1 6,6 10 4,9 3,6 14 3,2 8,8 1,4 4,1 8,3 1,9 6,7 3,6 8,5 3,3 3,5 7,5 4,9 -2 6,8 2,5 4,4 14 8,3 4,8 7,7 4,2 4,5 10 3,8 5,6 1,9 9,9 13 10 6,9 –3.

Требуется:

1)Сгруппировать выборку, округляя данные и объединяя малочисленные интервалы.

2)Построить гистограмму.

3)Найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2 .

4)Используя критерий χ2–Пирсона при уровне значимости α = 0,05, проверить,

согласуются ли эти данные с законом нормального распределения.

5)На одном чертеже с гистограммой построить график теоретической плотности.

6)Если данные согласуются с законом нормального распределения, построить

доверительные интервалы для параметров a и σ2, соответствующие доверительной вероятности γ =1−α = 0,9.

174

7) Проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости α = 0,05 с помощью критериев «восходящих» и «нисходящих» серий и Аббе.

10.2. Распределение 200 элементов (устройств) по времени безотказной работы (в часах) представлено в таблице:

Время безотказной работы	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
Число устройств	133	45	15	4	2	1

Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия: а) χ2–Пирсона; б) Колмогорова–Смирнова.

10.3. Исследование в течение 10 дней производительности двух предприятий, выпускающих холодильники, дало следующие результаты:

X	82	74	64	72	83	68	76	88	70	59
Y	54	64	70	64	55	69	77	71	70	55

Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкок- сона–Манна–Уитни при уровне значимости α = 0,1.

11.Основы дисперсионного анализа

11.1.На заводе установлено четыре линии по выпуску облицовочной плитки. С каждой линии случайным образом в течение смены отобрано по 10 плиток и сделаны замеры их толщины (мм). Отклонения от номинального размера приведены в таблице:

Линия по выпуску				Номер испытания
плиток	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,6	0,2	0,4	0,5	0,8	0,2	0,1	0,6	0,8	0,8
2	0,2	0,2	0,4	0,3	0,3	0,6	0,8	0,2	0,5	0,5
3	0,8	0,6	0,2	0,4	0,9	1,1	0,8	0,2	0,4	0,8
4	0,7	0,7	0,3	0,3	0,2	0,8	0,6	0,4	0,2	0,6

Требуется на уровне значимости α = 0,05 установить наличие зависимости выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактор A).

11.2. На уровне значимости α = 0,05 исследовать влияние цвета краски на срок службы покрытия (мес.)

Номер опыта	Синий	Зеленый	Красный
1	64	59	57
2	62	61	58

175

3

64

58

60

12.Корреляционный анализ

12.1.Имеются выборочные данные (в усл. ед.) по месячным доходам семей X, сбережениями в банках Y и ежемесячными расходами Z.

X	14,4	14,4	18,2	19,2	14,6	6,4	12,6	4,9	13,2	20,6	17,1	13,9
Y	84	86	102	100	80	34	72	31	76	112	98	72
Z	8,4	9,1	11,4	11,2	9,2	5,9	8,4	4,6	8,2	11,6	10,7	8,4

Выполните следующие задания:

-установите по диаграмме рассеяния вид связи и тенденцию между всеми парами признаков;

-выберите адекватный измеритель статистической связи;

-определите степень тесноты парных и частных связей;

-проверьте гипотезы о значимости парных измерителей связи;

-постройте интервальные оценки для парных коэффициентов корреляции;

-вычислите парные ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла;

-измерьте степень тесноты множественной связи;

-проверьте гипотезу о значимости множественной ранговой связи между всеми признаками;

-по каждому заданию сделайте выводы в терминах решаемой задачи.

13.Элементы регрессионного анализа

12.1.По результатам десяти испытаний системы случайных величин (X, Y) найти выборочный коэффициент корреляции ρху и составить выборочное уравнение линейной регрессии Y на X. На координатной плоскости изобразить точками, полученные в результате испытаний пары значений случайных величин и построить линию регрессии.

X	2,26	2,24	2,24	2,20	2,13	2,13	2,06	2,16	2,06	1,92
Y	5,94	6,12	6,11	6,12	6,65	6,35	6,69	6,38	6,50	6,91

Проверить значимость полученного уравнения регрессии для α = 0,05.

12.2. Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результату предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.

Средний балл	4,6	4,3	3,8	3,8	4,2	4,3	3,8	4,0	3,1	3,9
Число часов	25	22	9	15	15	30	20	30	10	17

176

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии.

Если студент занимается самостоятельно по 12 часов в неделю, то каков прогноз его успеваемости?

Ответы к задачам для самостоятельной работы

1.1.	1)	Ω;	2) А; 3) А; 4)	А; 5) А;	6) ;	7) Ω;	8) ; 9) A.
1.3.	1)	да;	2) нет; 3) да;	4) нет;	5) да;	6) да;	7) нет.

2.1.а) 114 ; б) 117 .

2.2.14 .

2.3.а) 95 ; б) 92 ; в) 79 .

2.4.0,055.

2.5.9998 .

2.6.0,9625.

2.7.0,9984.

2.8.0,96.

2.9.0,975.

2.10.а) 0,58; б) 0,002.

2.11.а) 1630 ; б) 309 ; в) 305 .

3.1.0,12.

3.2.а) 0,21; б) 0,047; , в) 0,004.

3.3.0,04565.

3.4.0,0595.

3.5.D[ξ] = npq.

3.6.а) 0,2048; б) 0,99968.

	Х	0		1	2	3
	pi = P(X = xi)	0,033		0,3	0,5	0,167
3.8. M[X ] =1,6; D[X ] =1,34; σX			=1,158 .

3.9.а) 0,04979; б) 0,14936; в) 0,22404; г) 0,22404; д) 0,16803; е) 0,18474.

3.10.M[X ] = 0,6 ; D[X ] = 0,46 . Распределение имеет вид:

xi

0

1

2

3

177

				pi = P(X = xi)	0,504	0,398	0,092	0,006
4.1.	M[ξ] =	8	; D[ξ] =8.
		3

4.2.a = 1.

4.3.а) 0,1360; б) 0,6826.

4.4.0,3.

4.5.Р(|ξ – а| < 5 ) = 0,8664.

4.6.а) 4,01%; б) 0,135%.

4.7.P(a < X < b) = (1−e−λb ) −(1−e−λa ) .

5.1. ρ(X, Y) = 0,688.
5.2. M[Z] = 7,2;	D[Z] = 32,16. Закон распределения имеет вид:
		Zi	1	9	16
		pi	0,4	0,4	0,2
5.3. M[Z] = 2,6;	D[Z] = 12,64.

5.5. а) 20; б) 169 .

6.1.а) 0,0997; б) 0,4938.

6.2.0,808.

6.3.n ≥18000 .

6.4.0,709.

6.5.P > 0,947 .

6.6.n > 265.

6.7.Р > 0,99.

6.8.Р1100(0 ≤ k ≤ 17) = 0,9651.

6.9.Р100(75) = 0,04565.

7.1.а) 4 состояния; б) состояния E1 и E2, несущественны, поскольку остальные состояния достижимы из них, но E1 недостижимо из E4, а E2 недостижимо из E3; состояния E3 и E4 являются существенными.

7.2.В момент t = 2: P(E1) = 0,437; P(E2) = 0,193; P(E3) = 0,37.

8.1.x =170,53 см.; sx2 = 38,702 см2; sx = 6,221 см.

8.2.а) P(X = 0) = 0,635 , P(X > 0) = 0,635 , P( X > 5) = 0,0425, P(X < 6) = 0,9575;

б) M[X] = 1,535, D[X] = 3,379

9.1.(7,63;12,77) .

9.2.(–0,24; 0,64).

9.3.(1,56 < σ < 3,00) .

178

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Общие указания

Необходимо строго придерживаться следующих правил:

1.Студент обязан делать контрольную работу №3 только своего варианта, отсылая ее на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком.

2.Контрольную работу следует выполнять в ученической тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

3.На обложке тетради студент должен указать свою фамилию, имя, отчество, также номер работы, ее название, номер зачетной книжки, номер варианта, номера решаемых задач, форму обучения, специальность, курс, номер группы (образец оформления обложки приводится ниже).

Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.

4.После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.

Контрольная работа содержит 8 задач. Номера задач выбираются из следующей таблицы

	Первая буква				Задачи
	фамилии сту-
		1	2	3	4	5	6	7	8
	дента
	а, б	1	11	21	31	41	51	61	71
	в, г	2	12	22	32	42	52	62	72
	д, е	3	13	23	33	43	53	63	73
	ж, з, и	4	14	24	34	44	54	64	74
	к, л	5	15	25	35	45	55	65	75
	м, н	6	16	26	36	46	56	66	76
	о, п, р	7	17	27	37	47	57	67	77
	с, т, у	8	18	28	38	48	58	68	78
	ф, х, ч, ш, щ	9	19	29	39	49	59	69	79
	э, ю, я	10	20	30	40	50	60	70	80

179

Образец оформления титульного листа

Челябинский государственный университет

Контрольная работа по математике Семестр 3

Форма обучения:

Специальность:

Курс:

Группа:

Выполнил: Фамилия Имя Отчество

Номера задач по варианту:

Зачтено:

Челябинск – 2007

180