ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Случайные события
1.Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) три сбербанка; б) хотя бы один?
2.Вероятность хотя бы одного попадания стрелком при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
3.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.
4.Для проведения соревнования 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
5.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?
6.В старинной игре в, кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.
7.Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во
второе отделение − 0,9 и в третье − 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
8.В озере было отловлено 100 карпов. Их пометили и отпустили обратно в озеро. Затем поймали 500 карпов, из которых оказалось помеченными 60 рыб. Сколько приблизительно карпов в водоеме?
9.На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
181
10. Имеются 5 столбиков и 8 ведер с красками разных цветов. Каждый столбик окрашивается краской из наудачу взятого ведра (при этом может получиться так, что разные столбики будут окрашены одной и той же краской). Найти вероятность того, что все столбики будут окрашены разными красками.
Задача 2. Дискретные случайные величины
11.Компания производит пружины, 10% из которых оказываются бракованными. Сто пружин отобраны для контроля качества. Требуется найти ожидаемое количество бракованных пружин и стандартное отклонение бракованных в отобранных образцах, а также вероятность того, что в выборке, по меньшей мере, 10 бракованных пружин.
12.Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго − 0,7. Необходимо: а) составить закон распределения общего числа попаданий; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
13.В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14.В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
15.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым, выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
16.Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математически ожидание и дисперсию данной случайной величины построить функцию распределения.
17.Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.
18.Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен абитуриент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся абитуриентом. Найти математическое ожидание этой случайной величины.
19.Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
20.Производители карманных калькуляторов знают из опыта работы, что 1% произведенных и проданных калькуляторов имеют дефекты и их должны заменить по гарантии. Фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность, что пять или больше калькуляторов нужно будет заменить?
Задача 3. Непрерывные случайные величины
21.В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12
и40% значений x больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.
22.Время изготовления детали – равномерно распределенная случайная величина на отрезке [4, 8] мин. Изготовлено пять деталей. Какова вероятность, что время изготовления каждой из пяти деталей отклоняется от среднего не более чем на 0,5 мин.?
23.Случайная величина распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (–1, 1) (закону Симпсона). Написать выражение для плотности распределения вероятностей. Вычислить функцию распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, моду, коэффициент эксцесса.
24.Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.
1.Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед.
2.С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.
25.Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед.
Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед.; в) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).
26.Коробки с конфетами упаковывает автомат. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более чем на 30 г (по абсолютной величине)?
27.Вес упаковки чипсов, производимых некоторой фирмой, подчиняется нормальному закону распределения, средний вес упаковки составляет 375 г., отклонение от среднего веса равно25 г.
Найти вероятность того, что в выпущенной партии чипсов вес одной упаковки будет: а) от 300 до 425 г., б) не более 450 г., в) больше 300г.
28.20%-ная точка нормально распределенной случайной величины равна 50, а 40%-ная точка равна 35. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (25; 45).
29.Квантиль уровня 0,15 нормально распределенной случайной величины X равен 12, а квантиль уровня 0,6 pавен 16. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
30.Манометр показывает давление в колонне. Давление колеблется от 10,0 до 10,2 атм., и в этих пределах любое давление равновозможно. Вследствие повреждения манометра его стрелка не отклоняется больше чем на 10,16 атм. Какое давление в среднем показывает манометр?
Задача 4. Совместное распределение случайных величин
31.Найти коэффициент корреляции ρ(X, X + Y), где X и Y независимы и распределены по стандартному нормальному закону.
32.Случайная величина X имеет равномерное распределение на [1, 2]. Найти функции распределения и плотности случайной величины Y = 2X + 1.
33.Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) задан таблицей
X |
Y |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
0,02 |
0,03 |
0,09 |
0,01 |
0 |
|
0,04 |
0,20 |
0,16 |
0,10 |
1 |
|
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,05 |
Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y; б) условные законы распределения случайной величины Х при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1; в) вероятность P(Y > X).
34. Задана функция распределения двумерной случайной величины (X,Y) F(x, y) = (1 − e−x)(1 − e−y); x ≥ 0, y ≥ 0.
Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно Х < 1, Y < 3.
35. Закон распределения двумерной дискретной случайная величины (X, Y) задан таблицей:
X |
Y |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0,35 |
1 |
|
0,15 |
0,3 |
2 |
|
0,05 |
0,05 |
0,1 |
Найдите законы распределения составляющих X и Y. Вычислите вероятности Р(Х = 2, Y = 0); Р(Х > Y). Установите, зависимы или нет составляющие Х и Y.
36.Рассматривается двумерная случайная величина (X, Y), где X − поставка сырья, Y − поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить:
а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y);
б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;
в) зависимы или независимы X и Y.
37.Дискретное совместное распределение случайного вектора (X, Y) задается таблицей:
X |
Y |
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
1/8 |
1/12 |
7/24 |
1 |
|
5/24 |
1/6 |
1/8 |
Найти: а) одномерные законы распределения X и Y; б) закон распределения X + Y; в) закон распределения Z = Y2.
38.Найти коэффициент корреляции ρ( X , X 2 ) , где случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ = 1.
39.Случайная величина X имеет равномерное распределение на [0, 1]. Найти плотность вероятности случайной величины Y = X2 и ее математическое ожидание.
40.Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону,
т.е. N(0; 1).
Задача 5. Закон больших чисел и предельные теоремы
41.Среднее изменение курса акции компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на 3%.
42.Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.
43.Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.
44.Вероятность угадывания 6 номеров в спортлото (6 из 49) равна 7,2 10-8. При подсчете оказались заполненными 5 млн. карточек. Какова вероятность, что никто не угадал все 6 номеров? Какое наименьшее количество карточек нужно заполнить, чтобы с вероятностью не менее 0,9 хотя бы один угадал 6 номеров?
45.Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течения 2 часов легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.
46.В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11 % (включительно).
47.Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
48.Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
49.Урожайность куста картофеля задается следующим распределением:
Урожай в кг |
0 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
Вероятность |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
На участке высажено 900 кустов. В каких пределах с вероятностью 0,95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов нужно посадить, чтобы с вероятностью не менее 0,975 урожай был не менее тонны?
50. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайной величины от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0,25 превысит
0,99.
Задача 6. Выборочное оценивание
Выборочная проверка размеров дневной выручки оптовой базы от реализации товаров по 100 рабочим дням дала следующие результаты:
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Ji |
0–5 |
5–10 |
10–15 |
15–20 |
20–25 |
25–30 |
30–35 |
35–40 |
ni |
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
n5 |
n6 |
n7 |
n8 |
Здесь: i – номер интервала наблюденных значений дневной выручки (i = 1, … , 8); Ji – границы i – того интервала (в условных денежных единицах); ni – число рабочих дней, когда дневная выручка оказывалась в пределах i- го интервала;
при этом, очевидно, что ∑8 |
ni = n = 100. |
i=1 |
|
Требуется: |
|
- построитъ гистограмму частот;
-найти несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии cлучайной величины Х – дневной выручки оптовой базы;
-определить приближенно вероятность того, что в наудачу выбранный рабочий день дневная выручка составит не менее 15 условных денежных единиц.
№ задач |
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
n5 |
n6 |
n7 |
n8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
3 |
8 |
16 |
20 |
23 |
20 |
6 |
4 |
52 |
2 |
9 |
14 |
17 |
25 |
22 |
7 |
4 |
53 |
4 |
7 |
15 |
20 |
24 |
22 |
5 |
3 |
54 |
3 |
8 |
15 |
19 |
26 |
20 |
6 |
3 |
55 |
4 |
6 |
8 |
18 |
24 |
20 |
14 |
6 |
56 |
3 |
4 |
9 |
19 |
23 |
20 |
12 |
10 |
57 |
3 |
6 |
8 |
18 |
21 |
22 |
14 |
8 |
58 |
2 |
5 |
9 |
17 |
23 |
20 |
15 |
9 |
59 |
2 |
3 |
8 |
18 |
24 |
22 |
13 |
10 |
60 |
1 |
7 |
10 |
16 |
23 |
20 |
14 |
9 |
Задача 7. Проверка статистических гипотез
61. Проверить по критерию Смирнова при уровне значимости α = 0,1 однородность группированных выборок – выработки рабочих двух цехов.
№№ |
Выработка в отчетном году |
Количество рабочих |
|
в % к предыдущему |
В первом цехе |
Во втором цехе |
1 |
94 – 100 |
3 |
5 |
2 |
100 – 106 |
7 |
12 |
3 |
106 – 112 |
11 |
16 |
4 |
112 – 118 |
20 |
28 |
5 |
118 – 124 |
28 |
45 |
6 |
124 – 130 |
19 |
27 |
7 |
130 – 136 |
10 |
14 |
8 |
136 – 142 |
2 |
3 |
|
Всего |
100 |
150 |
62. Даны результаты исследования отклонения фактического выпуска продукции (тыс. руб.) от планового (план – 1000 тыс. руб.) 400 предприятий в группированном виде:
|
Фактический |
950 – |
960 – |
970 – |
980 – |
990 – |
1000 – |
1010 – |
1020 – |
1030 – |
1040 – |
|
выпуск |
960 |
970 |
980 |
990 |
1000 |
1010 |
1020 |
1030 |
1040 |
1050 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
5 |
15 |
60 |
72 |
80 |
60 |
55 |
30 |
20 |
3 |
|
предприятий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
188 |
|
|
|
|
|
Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью по критерию χ2–Пирсона при α = 0,05.
63. Исследование длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий (по 14 предприятий в каждой) дало следующие результаты: среднегрупповые длительности оборота a1 = 23 дней, a2 = 26 дней; оценки диспер-
сий длительности оборота s12 = 4 дней2, s22 = 9 дней2. Выяснить, можно ли для
уровня значимости α = 0,1 считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств у данных групп предприятий одинаковы.
64. Исследование в течение месяца (25 рабочих дней) ежедневных простоев двух строительных бригад из-за отсутствия материалов дало следующие значения среднесуточных простоев: a1 =1,75 ч., a2 =1,99 ч., при априорных пред-
положениях относительно дисперсий σ12 =1,4 ч2., σ22 =1,1 ч2. Выяснить, можно
ли для уровня значимости α = 0,01 считать среднее время простоя бригад одинаковым.
65. Выборочное исследование возраста покупателей компакт-дисков в одном из магазинов дало следующие результаты: 20, 20, 32, 27, 40, 24, 23, 18, 16, 15, 18, 26, 19,17, 19, 18, 23.
Проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости α = 0,05 с помощью критериев «восходящих» и «нисходящих» серий.
66. Для исследования доходов населения города было отобрано 1000 жителей. Получено следующее распределение жителей по месячному доходу (руб.):
xi |
менее 500 |
500-1000 |
1000-1500 |
1500-2000 |
2000-2500 |
Свыше |
|
|
|
|
|
147 |
2500 |
ni |
58 |
96 |
239 |
328 |
132 |
Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия χ2–Пирсона.
67. Дано распределение признака (случайной величины) X – удой коров на молочной ферме за лактационный период (в центнерах), полученного для n = 100 коров.
xi |
4–6 |
6–8 |
8–10 |
10–12 |
12–14 |
14–16 |
16–18 |
18–20 |
20–22 |
22–24 |
24–26 |
ni |
1 |
3 |
6 |
11 |
15 |
20 |
14 |
12 |
10 |
6 |
2 |
Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном
189
законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия χ2–Пирсона.
68. Было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой они изготовлены. Получены следующие результаты:
Процент влаж- |
11-13 |
13-15 |
15-17 |
17-19 |
19-21 |
ности |
|
|
|
|
|
Число изделий |
8 |
42 |
51 |
37 |
12 |
Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия χ2–Пирсона.
69. Распределение 200 элементов (устройств) по времени безотказной работы (в часах) представлено в таблице:
|
Время безот- |
0-5 |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
|
казной работы |
|
Число уст- |
133 |
45 |
15 |
4 |
2 |
1 |
|
ройств |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия χ2–Пирсона.
70. Расход сырья на единицу продукции составил: - по старой технологии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
303 |
|
307 |
|
308 |
|
Всего |
|
|
|
пi |
|
1 |
|
4 |
|
4 |
|
|
9 |
|
- по новой технологии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
303 |
|
304 |
|
306 |
|
308 |
|
Всего |
|
пi |
|
2 |
|
6 |
|
4 |
|
1 |
|
13 |
Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0,05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья.
Задача 8. Статистические методы обработки экспериментальных данных
71. На уровне значимости α = 0,1 проверить существенность влияния температуры на производительность установки (кг/ч).
