УМК по ТВ и МС

Решение. Поскольку количество грибов n – велико, то используем вместо биномиального распределения его аппроксимацию. В данном случае p = 0,25.

При этом: np = 300 0,25 = 75 >10 , np(1 − p) = 300 0,25 0,75 = 56,25 > 20, по-

этому используем нормальную аппроксимацию.

а) Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn, p (k) того, что событие A произойдет

k раз в достаточно большом числе n независимых испытаниях приближенно вычисляется по формуле (2.12):

Pn, p

(k) ≈

f (t)

,

np(1 − p)

1

e−

t2

k − np .

75 − 300 0,25

где f (t) =

2

, t =

Отсюда получим: t =

= 0 ,

2π

np(1 − p)

300 0,25 0,75

f (t) = f (0) =

1

e

0 = 0,39894 ,

P

(75) = 0,0532 .

2π

300;0,25

б) Применяем формулу (2.13): Pn, p (c ≤ vn ≤ d )→ F0 (t2 ) − F0 (t1 ) ,

c − np

d − np

1

t

x2

где t1 =

;

t2 =

; F0 (t) =

∫e−

dx − кривая Гаусса, зна-

2

np(1− p)

np(1 − p)

2π −∞

чения которой определяются из таблиц. Имеем:

t =

50 −75

= −3,33333, t

2

= 100 − 75

= 3,33333,

1

75 0,75

75 0,75

F0 (t2 ) − F0 (t1 ) = F0 (3,33333) − F0 (−3,33333) = 0,99957 −0,00043 = 0,99914 .

Таким образом, P300;0,25 (50 ≤ k ≤100)≈ 0,99914 .

2.12. Неравенства Чебышева

Предложение 2.16. (Первое неравенство Чебышева). Если случайная ве-

личина ξ принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа ε:

P(ξ ≥ ε)≤	M [ξ]	.	(2.14)
	ε
Доказательство. Замечая, что			I{ξ≥ε}(ω) + I{ξ<ε}(ω) =1, и, пользуясь основ-

ными свойствами математического ожидания (предложение 2.5), получим

M [ξ] = M [ξI{ξ≥ε}] + M [ξI{ξ<ε}] ≥ εM [I{ξ≥ε}] = εP{ξ ≥ ε}.

Пример 2.21. Сумма всех вкладов в банке составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тысяч руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Решение. Пусть ξ − размер случайно взятого вклада, а n − число всех вкладчиков. Тогда средний размер вклада равен: M [ξ] = 2000n (тыс. руб.). Со-

41

гласно неравенству (2.14): P(ξ ≤10)≤ M10[ξ] или P(ξ ≤10)≥1 − 200010n . Учитывая, что P(ξ ≤10)= 0,6 , получим 1 − 200n ≤ 0,6 , откуда n ≤ 500 .

Предложение 2.17. (Второе неравенство Чебышева). Для любой случай-

ной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, и произвольного ε > 0 справедливо неравенство:

P{		ξ − M [ξ]		> ε}≤	D[ξ]	.	(2.15)
					ε2

Доказательство. Применим первое неравенство Чебышева (2.14) к случайной величине ξ′ =(ξ − M[ξ])2 , взяв в качестве положительного числа ε2:

P{(ξ − M [ξ])2 > ε2} ≤	M [(ξ − M [ξ])2 ]		=	D[η]	.	(2.16)
	ε2
				ε2

Очевидно, что P{ ξ − M[ξ] > ε} = P{(ξ − M[ξ])2 > ε2}. Тогда из (2.16) следует доказываемое неравенство.

Учитывая, что события ξ − M [ξ] > ε и ξ − M[ξ] ≤ ε противоположны, неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

	P{		ξ − M [ξ]		≤ ε} ≥1 −	D[ξ]	.	(2.17)
						ε2

Пример 2.22. Случайная величина ξ имеет дисперсию 0,004. Найти вероятность того, что случайная величина ξ отличается от М[ξ] более чем на 0,2.

Решение. В соответствии с неравенством (2.17) получаем

P{ X − M[ξ] > 0,2} ≤ (0,2)0,0042 = 0,0040,04 = 0,1.

Замечание 2.15. Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме (2.15) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (2.17) − нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

2.13. Теорема Чебышева

Предложение 2.18. (Теорема Чебышева). Пусть ξ1,..., ξn ,... – независимы и

i D[ξi ] ≤ C . Тогда
ε > 0 при			ξ +... + ξ		M[ξ	] +... + M[ξ	]
	n → ∞ P		1	n −	1	n				> ε	→ 0 . (2.18)
						n
			n

Доказательство. Обозначим η = (ξ1 +K+ ξn ) / n . Тогда левая часть (2.18)

запишется в виде P{η− M[η] > ε}. Применяя второе неравенство Чебышева и

42

замечание 2.13, получим, что эта вероятность может быть оценена сверху следующим образом:

ξ1 +... + ξn

ξ

+... + ξ

n

M[ξ

] +... + M[ξ

n

]

D[η]

D

n

P

1

−

1

> ε

≤

=

=

n

n

ε2

ε2

=

D[ξ1 + ... + ξn ]

=

D[ξ1 ] + ... + D[ξn ]

≤

nC

=

C

.

n2ε2

nε2

n2ε2

n2ε2

Последнее выражение, очевидно, стремится к нулю при n → ∞.

Если все случайные величины ξ1, …, ξn, … имеют одно и то же распределение, теорема Чебышева обретает следующую форму.

Следствие 2.1. Пусть ξ1, … , ξn, … – независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией: D[ξi ] < ∞. Пусть M[ξi ] = a .

Тогда ε > 0 при			ξ +... + ξ	n − a			→ 0 .
	n → ∞ P		1			> ε
			n

Выведем отсюда закон больших чисел для последовательности независимых испытаний. Для этого вспомним, что число успехов νn может быть представлено в виде суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с бернуллиевским распределением (см. пример 2.13). Непосредственно получаем следующее утверждение, которое известно как теорема Бернулли.

Следствие 2.2. (Теорема Бернулли). Пусть νn – число успехов в последовательности из n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в единичном испытании p. Тогда

ν

n − p

pq

ν

n − p

→ 0.

P

> ε

<

,

или

ε> 0 при n → ∞

P

> ε

2

n

nε

n

Пример 2.23. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Из условия задачи следуют, что n = 1000, p = 0,03, q = 1 − p = 0,97, ε = 0,01. Запишем теорему Бернулли через вероятность противоположного события, а именно

ν

n − p

pq

0,03 0,97

0,0291

P

< ε

≥1

−

=1

−

=1 −

= 0,709.

nε2

1000

0,012

0,1

n

Таким образом, искомая вероятность Р ≥ 0,709.

Замечание 2.16. Теорема Бернулли имеет важное методологическое значение, связанное с возможностью «частотного определения». Допустим, нас ин-

43

тересует вероятность некоторого случайного события A, которое может произойти в результате проведения некоторого опыта. Предположим, что имеется

принципиальная возможность воспроизводить неограниченное количество раз условия опыта. Пусть νn − число появлений события A при n независимых повторениях опыта. Тогда по теореме Бернулли имеет место устойчивость частот, а именно при больших n значения vn/n будут колебаться около некоторого числа, которое и есть вероятность P(A).

Однако следует учесть, что свойство устойчивости частот (равная вероятность успеха в единичном испытании) не всегда может иметь место на практике. Наличие теоремы ничего не может диктовать природе – в природе может иметь место устойчивость частот, а может и не иметь. Такие величины называют неопределенными. Этот вопрос тесно примыкает к проблеме различных подходов к определению понятия вероятности и к проблеме границ применимости теории вероятностей.

Утверждения этого параграфа становятся более краткими, если ввести нижеследующее понятие.

Определение 2.13. Последовательность случайных величин {ξn }∞n=1 сходит-

ся по вероятности к случайной величине ξ, еслиε > 0 при n → ∞ P{ξn −ξ > ε}→ 0 .

P

Кратко это записывают следующим образом: ξn → ξ .

Таким образом, утверждения следствий 2.1 и 2.2 кратко записываются, как

ξ +K+ ξ	P	ν	P
1	n → a и		n → p , соответственно.
n		n
			P	P
Предложение 2.19. Пусть ξn → ξ ,				ηn → η и числовая последовательность
			P	P
cn → c при n → ∞. Тогда			cnξn → cξ и	ξn + ηn → ξ + η. #

Глава 3. Общие случайные величины

Дискретные вероятностные пространства, рассмотренные в предыдущей главе, обладают ограничением: определенные на них случайные величины могут принимать не более чем счетное число значений. Как с точки зрения развития теории, так и из потребностей практических приложений, часто необходимо рассматривать случайные величины с непрерывными значениями. Теория, позволившая строго изучать общие случайные величины была построена в 1933 году выдающимся отечественным математиком А.Н. Колмогоровым. Предло-

женный им подход получил название аксиоматики теории вероятностей Кол-

могорова. Он привлекает математический аппарат теории меры для задания вероятностей, и интегрирование по Лебегу для вычисления математических ожиданий. Эти вопросы лежат вне рамок данного курса, поэтому в следующем па-

44

раграфе мы с целью общего ознакомления лишь коснемся вопросов, связанных

сопределением общего вероятностного пространства по Колмогорову.

3.1.Общее определение вероятностного пространства

Вотличие от рассматривавшейся нами ранее дискретной ситуации, где вероятностным пространством была названа пара (Ω, P), под общим вероятностным пространством следует понимать тройку объектов (Ω, F, P), смысл которых раскрывается следующими определениями.

Определение 3.1. Вероятностным пространством называется тройка

(Ω, F, P), где Ω – произвольное множество (элементарных исходов), F – σ−алгебра подмножеств множества Ω (события), P – вероятностная мера на (Ω, F).

Определение 3.2. Система F подмножеств множества Ω называется σ−ал-

геброй, если:

1)	Ω F (Ω – единица в σ−алгебре), F;
2)	∞	∞	F , т.е. F замкнуто относительно
	Если A1,...An ,... F , то UAi F	и IAi
	i=1	i=1
счетных объединений и пересечений;
3)	Если A, B F , то A \ B F .

Определение 3.3. Вероятностной мерой P называется отображение

P : F → R , обладающее следующими свойствами:
1) A F P(A) ≥0,
2) P(Ω) =1,
∞		∞
3) Если A1,...An ,... F и i ≠ j Ai I Aj = , то P ∑Ai		= ∑P(Ai ) .
i=1		i=1

В рамках такого подхода элементы F трактуются как события.

Замечание 3.1. Дискретное вероятностное пространство вкладывается в эту схему. В качестве σ−алгебры событий F здесь выступает множество всевозможных подмножеств дискретного множества Ω.

3.2. Случайные величины (общий случай)

Определение 3.4. Случайной величиной ξ = ξ(ω) называется такое отображение ξ: Ω → R , что x R {ω: ξ(ω) ≤ x} F .

Можно показать, что если ξ = ξ(ω) – случайная величина, то x,a,b R

{ξ > x}, {ξ < x}, {a < ξ ≤ b}, {a ≤ ξ < b}

(3.1)

45

есть события. Идея такого определения случайной величины состоит в том, чтобы обеспечить тот факт, что множества вида (3.1) являются событиями.

В общем случае распределение случайных величин описывается в терминах функций распределений.

Определение 3.5. Функцией распределения случайной величины ξ называется функция Fξ : R → R , определяемая следующим образом

Fξ (x) = P{ξ < x}.
Приращения функции распределения имеют очень простой смысл:
Fξ (b) − Fξ (a) = P{ξ < b} − P{ξ < a} = P{a ≤ ξ < b}.	(3.2)

Предложение 3.1. Имеют место следующие общие свойства функций распределения:

1)	x 0 ≤ Fξ (x) ≤1.
2)	Fξ(x) – неубывающая функция: x1 < x2 Fξ (x1 ) ≤ Fξ (x2 ) .
3)	Пределы на бесконечности: F (−∞) = lim		F (x) = 0, F (+∞) = lim F (x) =1.
	ξ	x→−∞	ξ	ξ	x→+∞ ξ

4) Функция Fξ(x) непрерывна слева в каждой точке:

Fξ (x − 0) = lim Fξ ( y) = Fξ (x) . #

y→x−0

Пример 3.1. Простейший случай – константа: ξ(ω) = c. В этом случае

Пример 3.2. Дискретная случайная величина ξ – число выпавших очков на игральной кости:

46

Замечание 3.2. Каков вероятностный смысл точки разрыва функции распределения? Ответ на этот вопрос получится, если в (3.2) положить b = x , а a устремить к x слева: P{ξ = x} = Fξ (x) − Fξ (x − 0) . Чтобы строго обосновать этот

вывод, следует воспользоваться свойствами вероятностной меры из § 3.1. Таким образом, функция распределения имеет разрыв в точке x тогда и только тогда, когда P{ξ= x} >0 . Более того, величина скачка в точке разрыва совпадает с

этой вероятностью.

Пример 3.3. Среди шести элементов два изношенных. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа изношенных элементов среди трех наудачу отобранных. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения: 0; 1; 2.

			C 0 C		3		=	2! 4! 3! 3!		= 0,2 ; Р(Х = 1) =			C1	C 2	= 0,6 ;
P(Х = 0) =				2	4								2	4
				C63				0! 2! 3! 1! 6!					C63
		C 2		C1		= 0,2.
Р(Х = 2)=			2	4
			C63
Условие нормировки: 0,2 + 0,6 + 0,2 = 1.
	Х			0				1			2
	Р			0,2				0,6			0,2

Найдем F(x):

если x (-∞; 0], то F(x) = P(X < x) = 0;

если x (0; 1], то F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0,2;

если x (1; 2], то F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,2 + 0,6 = 0,8; если x (2; + ∞), то F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

= 0,2 + 0,6 + 0,2 = 1.	x (−∞;0],
0,
	x (0;1],
0,2,
Следовательно, F(x) =	x (1;2],
0,8,
1,	x (2;+∞).

47

Итак, F(x) = ∑pi , т.е. суммируем те pi, для которых xi < x.

( xi <x)

Зная F(x), можно, например, найти Р(Х= 3) = 0, т.к. x = 3 – точка непрерыв-

ности F(x); или найти Р(Х= 1) = 0,8 – 0,2 = 0,6, т.к. x = 1 – точка разрыва F(x); или P(–1 ≤ X < 1,5) = F(1,5) – F(–1) = 0,8 – 0 = 0,8.

3.3.Непрерывные случайные величины

3.3.1.Понятие непрерывной случайной величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частности, это может быть не один промежуток, а

объединение нескольких. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a;b], (−∞;b) , [a;∞) , (−∞;∞) .

Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 км., но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,000001 км. (т.е. до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. На практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все ее значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчетное множество, называемое «континуум».

Если ξ − непрерывная случайная величина, то равенство ξ = x представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5285,6287 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001048 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.

Значениям непрерывной случайной величины присуща некоторая неопределенность. Например, нет практического смысла различать два отклонения от номинального размера, равные 0,4 мм и 0,4000025 мм. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня.

Определение 3.6. Случайную величину назовем непрерывной, если ее

функция распределения Fξ(x) непрерывна.

48

Легко видеть (см. замечание 3.2), что случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда P{ξ = x}=0 при всех x.

Важный класс непрерывных случайных величин – абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность распределения.

Определение 3.7. Случайная величина ξ называется абсолютно непрерывной, если существует функция pξ(x) такая, что

1) pξ(x) ≥ 0,

∞

2) ∫pξ (x)dx =1 – условие нормировки непрерывной случайной величины ξ,

−∞

t

3) t R имеет место равенство (см. рис. 3.1): ∫pξ (x)dx = Fξ (t) .

−∞

Функция pξ(x), обладающая вышеперечисленными свойствами, называется

плотностью распределения случайной величины ξ.

Следствие 3.1. Если ξ – абсолютно непрерывная случайная величина, то

b

∫pξ (x)dx = Fξ (b) − Fξ (a) = P{a ≤ ξ < b}.

a

Рис. 3.1.

Т.к. вероятность попадания непрерывной случайной величины ξ в точку равна нулю, имеем P(a ≤ ξ < b) = P(a ≤ ξ ≤ b) = Р(a <ξ ≤ b) = Р(a < ξ < b).

Наглядный смысл плотности можно проиллюстрировать рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Замечание 3.3. Если плотность pξ(x) непрерывна в точке x, то из cледствия 3.1 следует, что при ∆x →0 :

49

P{ x ≤ ξ ≤ x + ∆x} = Fξ (x + ∆x) − Fξ (x) = pξ (x)∆x + o(∆x) .

Следствие 3.2. Если x – точка непрерывности функции pξ(x), то

Fξ′(x) = pξ (x) .

3.3.2.Примеры абсолютно непрерывных распределений

1)Равномерное распределение на отрезке [c, d ] :

2)Показательное (или экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0:

3) Нормальное (или гауссовское) распределение N (a, σ2 ) , a R , σ > 0 :

Стандартное нормальное распределение − N(0, 1):

Пример 3.4. Случайная величина ξ задана функцией распределения

50