Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 2

Билет 2. Аксиомы действительных чисел и их свойства.

1. Сложение. IR x IR -> IR; (x,y)IR; x+y=IR

Аксиомы сложения.

А1. Операция сложения коммутативна:

x,yR: x+y=y+x

А2. Ассоциативна:

x,y,zR: (x+y)+z = x+(y+z)

А3. Существует единственный нейтральный элемент

О  R называется нуль, хR: x+O=x

А4. Существует противоположный элемент

xR (-x)R: x+(-x)=0

Если выполняются первые три аксиомы – группа (множество элементов связанных операциями А1-А3).

Четыре аксиомы – абелева группа.

****Дальше нумерация аксиом продолжается!!!

2. Умножение. X*y=R

А5. Коммутативность.

x,yR: x*y=y*x

А6. Ассоциативность

x,y,z x*(y*z)=(x*y)*z

А7. Существует нейтральный элемент

1R называется единицей хR: x*1=x

А8. Существует обратный элемент

хR (x^-1)R: x*(x^-1)=1

3. А9. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

x,y,zR (x+y)z = xz+yz

Алгебраическое поле – множество элементов, связанных операциями, удовлетворяющими А1-А9.

4. Между элементами R xR и yR опред. отношение порядка ≤ x,y: x≤y или y≤x

Аксиомы порядка

A10 xR x≤x

A11 x,yR (x≤y)(y≤x) => (x=y) – Антисимметричность

А12 x,y,zR (x≤y)(y≤z) => (x≤z) – Транзитивность

А13 x,y,zR (x≤y) => x+z ≤ y+z – Связь умножения и порядка

А14 x,yR (о≤x)(o≤y) => (o≤x*y) – Связь умножения и порядка

5. В пространстве вещественных чисел также справедлива аксиома полноты.

А15. Х и У пустые множества R xX; yY x≤y тогда сR (x ≤ c ≤ y)

Следствия из аксиом сложения и умножения.

1. В R нуль единственный. ● 0₁ b 0₂, тогда 0₁=0₁+0₂=0₂+0₁=0₂ ●

2. xR -(-x)=x ● –(-x)+0=-(-x)+((-x)+x)=(-(-x)+(-x))+x=0+x=x ●

3. xR x*0=0 ● x*0 = x*0+0=x*0+(x+(-x))=x*0+x*1+(-x)=x(0+1)+(-x)=x+(-x)=0 ●

4. xR -x=(-1)x ● –x=-x+0=-x+x*0=-x+x(1+(-1)) = -x+x*1+x(-1)=(-1)*x ●

5. (-1)(-1)=1 ● (-1)(-1)=(-1)(-1)+0=(-1)(-1)+(1+(-1))=(-1)((-1)+1)+1=(-1)*0+1=1 ●

6. xR !(-x)R ● Пусть для xR  против. элементы х₁; x₂R. x₁=x₁+0=x₁+(x+x₂)=(x₁+x)+x₂=0+x₂=x₁●

7. xR ! x^-1R ● xR x^-1₁; x^-1₂R x^-1₁= x^-1₁*1= x^-1₁(x* x^-1₂)=( x^-1₁*x) x^-1₂=1* x^-1₂= x^-1₂ ●

8. Очевидно, что x,y выполняется одно из соотношений x<y; x=y; x>y. Имеют место соотношения аналогичные А12-А14.

9. x,z,yR (x<y)(y<z)=> (x<z)

10. x,y,zR x<y => x+z < y+z

11. x,yR (0<x)(0<y) => (0<x*y)

12. (0<x) => (-x)<0 ● 0<x => 0+(-x)<x+(-x) => (-x)<0 ●

13. x,yR (x<0)(0<y) => x*y<0 ● (x<0)(0<y) => (0<(-x))(0<y) => 0<(-x)y => 0<(-1)xy => xy<0 ●

14. x,yR (x<0)(y<0) => 0<x*y ● (x<0)(y<0) => (0<(-x))(0<(-y)) => 0<(-x)(-y) => 0<(-1)(-1)xy => 0<1*xy ●

15. x,yR (0<x)(y<0) => y<0

16. 0<1 ● Пусть 1<0 тогда (1<0)(1<0) => (0<1*1)=> 0<1 – противоречие 1<0