Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

210

Рис. 132

211

Рис. 133

212

Рис. 134

213

Таблица 13

Номер	m1	m2	m3	m4	F	M	R2		R3		R4	α	β	γ
варианта
(рис. 132
- 134)									м
	кг	кг	кг	кг	Н	Нм	м				м	град	град	град
1	10	6	4	8	80	2	0,8		-		0,4	30	45	40
2	8	6	4	2	60	3	0,9	0,5			-	45	-	30
3	6	8	6	4	70	2	0,8	-			0,6	30	-	45
4	4	8	6	8	60	3	1,2	-			0,5	30	30	30
5	6	8	6	4	40	2	0,9	-			0,4	-	-	45
6	4	6	4	6	50	3	1,2	-			0,3	-	-	30
7	5	8	4	4	60	2	0,8	-			0,4	60	-	20
8	8	6	5	4	80	3	0,9	0,6			-	30	60	20
9	6	8	4	4	40	2	0,6	0,8			-	-	-	30
10	4	6	8	4	60	3	0,5	0,6			-	30	-	45
11	6	8	4	4	80	2	0,8	-			-	45	-	30
12	8	10	4	6	60	3	1,2	-			0,6	30	30	20
13	6	8	4	5	40	2	0,8	-			0,5	30	-	45
14	4	8	4	6	60	3	0,9	-			0,4	45	60	30
15	8	8	4	6	80	2	1,2	0,6			-	30	-	20
16	10	8	4	5	60	3	1,0	-			0,6	30	-	30
17	8	10	6	4	80	2	0,9	0,5			-	45	-
18	6	8	4	6	40	3	1,2	-			0,4	30	-	30
19	8	10	4	8	60	2	0,8	-			0,5	30	-	20
20	6	8	6	4	80	2	0,6	0,8			-	30	-	45
21	10	6	4	6	80	3	0,8	-			0,6	30	45	30
22	8	10	6	4	60	2	0,9	0,6			-	45	60	30
23	6	8	4	6	60	3	1,2	0,4			0,6	45	-	20
24	8	10	6	4	80	2	0,8	-			0,4	-	-	30
25	6	8	6	4	80	3	0,9	0,5			-	-	-	20
26	8	10	4	6	70	2	1,2	0,4			0,6	30	-	20
27	8	6	8	4	80	3	0,6	0,8			-	-	-	30
28	10	8	6	4	60	2	1,2	0,8			-	45	-	20
29	6	4	8	4	40	3	0,8	-			0,4	-	-	30
30	8	6	10	4	60	2	0,8	-			0,4	-	-	20

214

rk - радиус-вектор k – ой точки.

Рис. 135

Для Ak точки запишем основное уравнение динамики:

m	a
			= F e + F				i	(k =1,n);			(2)
k k				k		k

где ak - вектор ускорения точки.

d2

d2

d2

r

r

Но a =

k

, поэтому m

k

=

(m r ).

dt2

dt2

k

dt2

k

k k

Для системы материальных точек будем иметь n – уравнений (2). Суммируем эти уравнения

n		n		n
∑mk
	a	k = ∑Fke + ∑Fki .					(3)
k =1		k =1		k =1

Но ∑mk ak =∑dtd22 (mk rk ) = dtd22 (∑mk rk ). Используя соотноше-

ние (1), можно записать ∑mk ak = d2 (mrc ) = mac .

dt2

n

Кроме этого ∑Fke = Re - главный вектор внешних сил;

k =1

215

n
∑Fki = Ri - главный вектор внутренних сил.
k =1
Но Ri = 0, поэтому равенство (3) будет иметь вид
ma = Re ;	(4)
c

где ac - вектор ускорения центра масс механической системы. Векторное равенство (4) называется теоремой о движении центра масс механической системы.

Спроецируем (4) на оси декартовой системы координат xOyz, получим

mxc

myc

mzc

= ∑Fkxe ;

= ∑Fkye ; (5) = ∑Fkze .

Система (5) характеризует дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы.

1. Поступательное движение твердого тела

Абсолютно твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми остаются постоянными при любом его кинематическом состоянии. При этом главный вектор внутренних сил Ri = 0.

При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые скорости и ускорения. Такое же ускорение будет иметь центр масс тела ac . Поэтому дифференциальные уравнения (5) можно применять для поступательного движения абсолютно твердого тела.

216

2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Запишем теорему об изменении кинетического момента при вращении тела (σ) вокруг неподвижной оси:

dKdtz = ∑Mz (Fke ) ;

где Kz = Izω - кинетический момент тела (σ) относительно неподвижной оси Oz;

∑Mz (Fke ) - сумма моментов всех внешних сил, действую-

щих на тело, относительно той же оси.

Если ω =ϕ , то ε = ω = ϕ, dKdtz = Izϕ. С учетом этих соотношений получаем дифференциальное уравнение при вращении тела вокруг неподвижной оси:

Izϕ = ∑Mz (Fke )			.	(6)

В уравнении (6) величина Iz = const.

3. Плоское движение твердого тела

При плоском движении фигура (σ) перемещается поступательно вместе с центром масс (точка C) и вращается вокруг центра масс

(рис. 136).

Рис. 136

217

Запишем уравнения плоского движения:

xc = xc(t); yc = yc(t); zc = zc(t).

Действующие силы {F1e,F2e,…Fne} вызывают плоское движение фи-

гуры (σ).

Так как плоское движение состоит из поступательного и вращательного движений, то нужно записать три дифференциальных уравнения:

mxc = ∑Fkxe ;

myc = ∑Fkye ; (7) Iczϕ = ∑Mz (Fke );

где m – масса фигуры (σ);

Icz – момент инерции фигуры относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости чертежа.

Пример решения задачи

На рис. 137 представлена механическая система, состоящая из четырех твердых тел, соединенных между собой при помощи нерастяжимых нитей. Заданы следующие величины: m1 = 8 кг; m2 = 10 кг; m3 = 4 кг; m4 = 6 кг – массы тел; F = 80 Н – сила, приложенная к телу 1; f1 = 0,2 – коэффициент трения скольжения между телом 1 и поверхностью; α = 30о - угол наклона поверхности к горизонту; γ = 20о – угол наклона силы F к траектории движения тела 1; M = 2 Нм – момент пары, приложенной к шкиву 2; r2 = 1/2R2; R2 = 0,8 м – малый и большой радиусы шкива 2; ρ2 = 0,6 м – радиус инерции этого шкива; R3 = 0,4 м; R4 = 0,6 м – радиусы колеса 3 и цилиндра 4;

g = 9,8 м/с2. Цилиндр 4 катится по плоскости без скольжения. Определить ускорение тела 1 (a1).

218

Решение

Обозначим цифрами все нити в системе и найдем кинематические соотношения между всеми телами системы, выразив их через

ускорение тела 1 – a1.

a

=

a

τ

, a3τ

=

R2

, a

=

R2

a

= 2a ,

a

=

a

τ

;

1

1

a1

r2

3

1

1

3

3

r2

угловое ускорение шкива ϕ

2

= ε

2

= a1 =

a1

= 2,5a

(с-2).

r2

0,4

1

Рис. 137

Ускорение центра масс цилиндра 4

a

= 1 aτ

= a ;

4

2

3

1

угловое ускорение ϕ

4

= ε

4

=

a4

=

a1

=1,67a

(с-2).

R4

0,6

1

Ускорение центра масс колеса 3

aτ

= 2a ;

3

1

угловое ускорение

ϕ

3

= ε

3

=

a3τ

= 2a1 = 5a

(с-2).

R3

0,4

1

Для применения дифференциальных уравнений (5), (6) и (7) необходимо разрезать нити и рассмотреть отдельно движение каждого тела.

219

Тело 1 Схема движения тела 1 показана на рис. 138. На тело 1 дейст-

вуют силы: F = 80 Н; FТр = N1 f1 – сила трения скольжения, которая всегда направлена в обратную сторону от направления скорости тела; P1 = m1g = 8 9,8 = 78,4 Н – сила тяжести тела 1; N1 – реакция нормального давления(N1 FТр), T5 – сила натяжения нити.

Рис. 138

Тело 1 находится в поступательном движении, поэтому применяем дифференциальные уравнения (5):

	m x	= ∑Fe ;
	1 1		kx1
	m y	= ∑Fe .
	1 1		ky1
Так как y1 = const, то y1 = 0 , поэтому
m x = F cosγ −T			− F	+ P sinα,
	1 1	5	Тр	1
	= N − P cos	α − F sinγ.
0
	1 1

Из второго уравнения

N1 = P1 cosα + F sinγ = 78,4 cos30o + 80 sin 20o = 95,3Н.

По закону Кулона находим FТр = N1f1 = 95,3 0,2 19Н.