Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

150

3. Определение абсолютной скорости точки

Из векторного треугольника OAM (рис. 97) можно записать r = rA + R .

Дифференцируем по времени:

dr

=

drA

+

dR

=

drA

+

dR

+ω

;

× R

dt

dt

dt

dt

dt

e

где

dr

- абсолютная скорость точки M;

= v

dt

drA

e′ -

переносная скорость точки при поступательном дви-

= v

dt

жении тела (σ);

e′′

- переносная скорость точки при вращательном

ω

e × R

= v

движении тела (σ) вокруг полюса;

dR

r - относительная скорость, которая всегда будет направ-

= v

dt

лена по касательной в данной точке M к траектории.

e′

e′′ окончательно получаем

При v

e = v

+v

v			= ve +vr					(2)
.			.

Вектор абсолютной скорости точки всегда определяется геометрической суммой векторов переносной и относительной скоростей. Чтобы правильно показать эти три вектора на схеме, в первую очередь нужно искать тело (σ), по которому перемещается точка.

Как это делается, покажем на примерах.

Пример 1.

Рассмотрим плоский кулисный механизм (рис. 101), который состоит из кривошипа 1 (угловая скорость ω1 задана), ползуна 2 и кулисы 3.

151

Рис. 101

Соединительному шарниру A принадлежит три точки A1, A2 и A3. Ползун 2 может перемещаться вдоль кулисы 3, поэтому телом (σ) и будет кулиса. Точка A2 принадлежит ползуну, и вектор относительной скорости vr будет направлен вдоль кулисы 3. Точка A3 принад-

лежит телу (σ) (кулисе 3), поэтому переносная скорость ve будет

перпендикулярна звену 3, так как это звено вращается вокруг точки O1. Точка A1 принадлежит кривошипу 1, поэтому вектор абсолютной скорости v будет перпендикулярен звену 1 и направлен вверх, как показывает ω1.

В силу векторного равенства v = ve +vr надо помнить,

что вектор абсолютной скорости v всегда будет являться

диагональю прямоугольника или параллелограмма, построенного на векторах ve и vr как на сторонах.

Пример 2.

Обруч 1, при помощи колечка 3, соединяется с неподвижной проволокой 2 (рис. 102). Все звенья механизма располагаются в

152

одной вертикальной плоскости. Обруч 1 находится в плоском движении – катится по поверхности, и имеет скорость центра т. O vo . Колечко 3 принимаем за точку M, которой принадлежит три точки

M1, M2 и M3.

Рис. 102

Телом (σ) будет звено 1, так как по нему перемещается колечко 3. Точка M3 принадлежит колечку 3, поэтому относительную скорость vr показываем перпендикулярно радиусу OM обруча 1.

Точка M1 принадлежит обручу 1. Соединяем точку M с МЦС – точкой P1, и перпендикулярно MP1 проводим вектор переносной скорости ve . Вектор абсолютной скорости v будет направлен вдоль проволоки, так как точка M2 принадлежит неподвижному звену 2. Вектор v - диагональ параллелограмма, стороны которого есть вектора ve и vr .

Решая векторное уравнение (2), определяем модули всех скоростей v , ve и vr .

153

4. Определение абсолютного ускорения точки

Запишем равенство (2) в развернутой форме:

v = ve′ +vr +ωe ×R .

Вектор абсолютного ускорения точки M

a = ddtv = ddtve′ + ddtvr + ddtωe ×R +ωe × dRdt ;

где ddtve′ = ae′ - переносное ускорение точки при поступательном

движении тела (σ);

r = dv

r +ω

dv

=

a

(формула Бура (1));

×v

r

+ω

×v

r

dt

dt

e

r

e

ar

-

относительное ускорение точки;

dω

e

= εe - вектор углового ускорения тела (σ);

dt

dR

dR

×R

×R

(формула (1)).

= v

= +ω

r

+ω

dt

dt

e

e

Тогда

=

+

e′ + εe ×R

a

a

ar +ω

e ×vr + ω

e ×(vr + ω

e ×R),

где

e′′ -

переносная скорость точки при вращатель-

e ×R

ω

= v

ном движении тела (σ).

=

e′′ +

r + 2(ω

a

a

e′ + εe ×R

a

+ω

e ×v

e ×vr ) ,

где

e′′=

e′ +

eτ

+

en =

e - переносное

a

e′ + εe ×R

a

a

a

a

+ω

e ×v

ускорение точки;

a

r ) =

k -

ускорение Кориолиса2.

2(ω

e ×v

2 Кориолис Гюстав Гаспар (21.5.1792 – 19.9.1843). Французский механик, член Парижской АН с 1836г. Основные исследования относятся к аналитической механике.

154

Окончательно имеем

a = ae + ar + ak	.	(3)

Вектор абсолютного ускорения a равен геометрической сумме векторов переносного ускорения ae , относительного ускорения ar и ус-

корения Кориолиса ak .

5.Ускорение Кориолиса

Ввекторной форме ускорение Кориолиса ak = 2(ωe ×vr ) , по мо-

дулю ak = 2ωevr sin(ωe;vr ) .

Частные случаи:

	а)	ak			= 0 , если ωe = 0, т.е. при поступательном движении тела (σ);
	б)	a						r = 0, т.е. при относительном покое;
					= 0 , если v
			k
	в)		a		= 0
						, если sin(ω			;v		r ) = 0 , т.е. при параллельности векторов
				k				e
ω	и v			r .
e

Для направления вектора ускорения ak надо пользоваться правилом Жуковского3.

Правило Жуковского

Через точку M (рис. 103) проводим плоскость П, перпендикулярную вектору ωe (переносной угловой скорости тела (σ)). На эту плоскость П проецируем вектор относительной скорости vr и в той же плоскости полученную проекцию скорости поворачиваем в сторону переносного вращения тела (σ) на угол 900; это и будет направление ускорения Кориолиса ak .

3 Жуковский Николай Егорович (17.1.1847 – 17.3.1921). Русский ученый в области механики, основоположник современной аэродинамики, членкор Петербургской АН с 1894г.

155

Рис. 103

Пример решения задачи

Полукруглая пластинка вращается вокруг неподвижной оси AB по закону ϕe = 0,5t3 – 0,2t (рад). Радиус пластинки a = 1,2 м. По окружности пластинки от O в сторону, указанную точкой M, перемещается

точка M по закону OM = S = 2π		a sin(π t) (м).
r	3	6

Для момента времени t1 = 1с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M (рис. 104).

Решение

1)В данной схеме (рис. 104) телом (σ) будет полукруглая пластинка. Ее вращение вокруг неподвижной оси AB – переносное движение. Движение точки M по дуге окружности пластинки – относительное движение. Движение точки M относительно неподвижной оси AB – абсолютное движение.

2)Определяем положение точки на относительной траектории. Если точка движется по окружности, то лучше всего определять

угол α между радиусами, которые связывают точку M(t1) и начало отсчета относительной траектории точку O (рис. 105).

Угол α = Sr (t) .	При t1	= 1с S (t ) = 2π		a sin( π ) = π a (м).
a		r 1	3	6 3

156

Тогда угол α = π3 = 60o .

Рис. 104 Рис. 105

3) Определение абсолютной скорости.

Запишем v = ve +vr . Переносная скорость ve = ωe h, где h – пер-

пендикуляр, опущенный из точки M(t1) на ось вращения AB.

	ω	= dϕe	=	d	(0,5t3	−0,2t) =1,5t2 −0,2 (с-1).
				dt
	e	dt
	Для t1 = 1c	ωe = 1,3 c-1.

Перпендикуляр h = a sinα =1,2 sin60o 1,04 м.

Тогда ve = 1,3 1,04 = 1,35 м/с.

Вектор ve будет приложен в точке M(t1), перпендикулярен h в гори-

зонтальной плоскости и направлен к нам, как указывает ωe. Относительная скорость

vr = dSdtr = dtd ( 23π a sin(π6 t)) = π92 a cos(π6 t). Для t1 = 1c vr = π92 1,2 cos(π6 ) =1,14м/ с.

157

Между векторами ve и vr прямой угол, поэтому

v = ve2 +vr2 = 1,352 +1,142 1,77м/ с.

Абсолютная скорость V = 1,77 м/с.

Через точку M проведем оси координат xMyz и на эти оси спроецируем векторное равенство (2). Тогда получим:

Vx = Ve = 1,35 м/с; Vy = Vr cosα = 1,14 cos60o = 0,57 м/с;

Vz = Vr sinα = 1,14 sin60o = 0,987 м/с.

:

Определим направление вектора v

cos(

;

) =vx

=1,35

= 0,7627 ;

;

) = 40,6o ;

v

i

(v

i

v

1,77

vy

0,57

o

cos(v ; j )=

=

1,77

= 0,322 ;

(v; j ) = 71,2 ;

v

vz

0,987 = 0,5576 ; (v

;

) = 56,1o .

cos(

;k

)=

=

k

v

v

1,77

4) Определение абсолютного ускорения.

Для определения абсолютного ускорения a запишем векторное равенство (3) в развернутом виде

a = aen + aeτ + arn + arτ + ak .

Определим модуль и направление каждого вектора, входящего в правую часть векторного равенства.

Переносное нормальное ускорение

an = ω2 h =1,32 1,04 1,76м/ с2				. Этот	вектор			направлен
e	e
вдоль h к оси вращения AB (рис. 106).
Переносное		касательное	ускорение		aτ	= ε	e	h.	Но
					e

εe = ddtωe = 3t . При t1 = 1c εe = 3 c-2. Тогда aτe = 3 1,04 = 3,12м/ с2 .

Этот вектор будет перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам.

158

Относительное нормальное ускорение arn = vr2 . Но ρ = a , тогда

ρ

arn = 1,141,22 =1,08м/ с2 . Этот вектор будет направлен к центру ок-

ружности полукруга.

Рис. 106

Относительное касательное ускорение

τ

dv

r

d

π2

π

π3

π

a

=

=

(

a cos(

t))

= −

a sin(

t).

r

dt

dt

9

6

54

6

При t1 = 1c

aτ

= −

π3

1,2 sin30o = −0,34м/ с2 . Этот вектор на-

r

54

правлен по касательной к окружности в точке M(t1) и направлен в обратную сторону от направления вектора vr .

Ускорение Кориолиса ak =2 ωe vr

sin(ω

e;

vr ).

) = 90o −α , то

a

= 2

ω

v

)=

Так как (ω

;v

r

r

sin(ω

;

v

e

k

e

e

r

2 1,3 1,14 cos600 = 1,48 м/с2. Для определения направления вектора

159

ak применим правило Жуковского. Вектор vr проецируем на прямую N1N2 (линия пересечения горизонтальной и вертикальной плоскостей), затем полученную проекцию поворачиваем на угол 900 в сторону переносного вращения. Вектор ak , по направлению, совпа-

дает с вектором aeτ . С точкой M(t1) связываем систему координат xMyz и на эти оси проецируем векторное равенство для a в развернутом виде:

a

x

= aτ + a ;

e

k

a

y

= an

+ an sinα + aτ cosα ;

e

r

r

a

= an

cosα − aτ sinα .

z

r

r

Тогда

ax = 3,12 + 1,48 =4,6 м/с2;

ay = 1,76 + 1,08 sin600 + 0,34 cos600 = 2,87 м/с2;

az = 1,08 cos600 –0,34 sin600 = 0,25 м/с2.

Модуль абсолютного ускорения a :

a =

a2

+ a2

+ a2 = 4,62 + 2,872 + 0,252 = 5,43м/ с2 .

x

y

z

Итак, a = 5,43 м/с2.

Направление вектора a :

ax

4,6

(a;

) = 32,1o ;

cos(

a

;

i

) =

=

= 0,8471;

i

5,43

a

ay

2,87

o

cos( a; j )=

=

5,43

= 0,5285 ;

(a; j ) = 58,1 ;

a

cos(

) = az =

0,25

= 0,046 ;

(a;

) = 87,4o .

a

;k

k

a

5,43

Ответ:

абсолютная скорость точки v = 1,77 м/с;

абсолютное ускорение точки a = 5,43 м/с2.